動量算符

在量子力學裏，動量算符（）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 \psi(x)\,\! 的動量算符可以寫為
:\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\! ；

其中，\hat{p}\,\! 是動量算符，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，i\,\! 是虛數單位，x\,\! 是位置。

給予一個粒子的波函數 \psi(x)\,\! ，這粒子的動量期望值為
:\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^(x)\hat{p}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ dx\,\! ；

其中，p\,\! 是動量。

導引 1
對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 V(x)=0\,\! ，不含時薛丁格方程式表達為
: - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ \psi(x)=E \psi(x)\,\! 。

其中，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，m\,\! 是粒子的質量，\psi(x)\,\! 是粒子的波函數，x\,\! 是粒子的位置，E\,\! 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 \psi_k(x)\,\! 是一個平面波：
:\psi_k(x)= e^{ikx}\,\! ；

其中，k\,\! 是波數，k^2=2mE/\hbar^2\,\! 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是
:p=\hbar k\,\! 。

自由粒子具有明確的動量 p\,\! ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 \hat{p}\,\! 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 p\,\! ，那麼，不確定性 \sigma_{p}=0\,\! ，這自由粒子的量子態是確定態，是 \hat{p}\,\! 的本徵態，在位置空間()裏，本徵函數為 \psi_k\,\! ，本徵值為 p\,\! ：
:\hat{p}\psi_k(x)=p\psi_k(x)\,\! 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 \psi_k(x)\,\! 。

為了要達到此目標，勢必要令
:\hat{p}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi_k(x)\,\! 。

所以，可以認定動量算符的形式為
:\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\! 。

導引 2
在古典力學裏，動量是質量乘以速度：
:p=mv=m\frac{dx}{dt}\,\! 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：
:\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\! 。

那麼，用積分方程式來表達，
:\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\! ；

其中，\Psi(x,\,t)\,\! 是波函數。

取微分於積分號下，
:\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi
+\Psi^\frac{\partial x}{\partial t}\Psi+\Psi^x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\! 。

由於 x\,\! 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

:\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi
+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\! 。(1)

含時薛丁格方程式為
:i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\! ；

其中， V\,\! 是位勢。

其共軛複數為
:i\hbar\frac{\partial \Psi^}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\! 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到
:\begin{align}\langle p\rangle & = \frac{m}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^x\Psi

• \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^xV\Psi \right) dx \\

& =\frac{\hbar}{i2} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial^2 \Psi^}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right) dx \\
\end{align}\,\! 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi\,\!趋于零的特性，有
:\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\! ，(2)

:\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^ x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\! 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi\,\!趋于零的特性）
:(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( - \frac{\partial \Psi^}{\partial x}\Psi+\Psi^\frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\! 。

所以，
:\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\! 。

對於任意波函數 \Psi\,\! ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 \hat{p}\,\! 為 \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\! 。

厄米算符
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O\,\! 的期望值是實值的：
:\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\! 。

對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，這關係都成立：
:\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\! 。

根據伴隨算符的定義，假設 \hat{O}^{\dagger}\,\! 是 \hat{O}\,\! 的伴隨算符，則 \langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\! 。因此，
:\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\! 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 \hat{O}\,\! ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 |\psi\rangle\,\! 的波函數為 \psi(x)\,\! ，
:\begin{align}
\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right)\psi\ dx \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi\left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi\right)^ \ dx =\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \\
\end{align} 。

對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\! 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數
假設，動量算符 \hat{p}\,\! 的本徵值為 p\,\! 的本徵函數是 f_p(x)\,\! ：
:\hat{p}f_p(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p f_p(x)\,\! 。

這方程式的一般解為，
:f_p(x)=f_0 e^{ipx/\hbar}\,\! ；

其中，f_0\,\! 是常數。

假設 f_p(x)\,\! 的定義域是一個有限空間，從 x= - L\,\! 到 x=L\,\! ，那麼，可以將 f_p(x)\,\! 歸一化：
:\int_{ - L}^{L}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - L}^{L}\ dx=|f_0|^2 2L=1\,\! 。

f_0\,\! 的值是 1/\sqrt{2L}\,\! 。動量算符的本徵函數歸一化為 f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}} e^{ipx/\hbar}\,\! 。

假設 f_p(x)\,\! 的定義域是無窮大空間，則 f_p(x)\,\! 不是一個平方可積函數：
:\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ dx=\infty\,\! 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 |f_p(x)|^2\,\! 於無窮大空間，來使 f_p(x)\,\! 歸一化。

換另一種方法，設定 f_0=1/ \sqrt{2\pi\hbar}\,\! 。那麼，
:\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_{p1}^*(x)f_{p2}(x)\ dx=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{ - \infty}^{\infty}e^{ - i(p1-p2)x/\hbar}\ dx=\delta(p1-p2)\,\! ；

其中，\delta(p1-p2)\,\! 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 \psi(x)\,\! 都可以表達為本徵函數的線性組合：

:\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) f_p(x)\ dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) e^{ipx/\hbar}\ dp\,\! ；

其中，係數 c(p)\,\! 是
:c(p)=\int_{ - \infty}^{\infty}f_p^*(x)\psi(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x) e^{ - ipx/\hbar}\ dx\,\! 。

正則對易關係
位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：
:[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\! 。

所以，[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\! 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。\hat{x}\,\! 與 \hat{p}\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，\hat{x}\,\! 的本徵態與 \hat{p}\,\! 的本徵態不同。

根據不確定性原理，
:\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\! 。

由於 x\,\! 與 p\,\! 是兩個不相容可觀察量，\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\! 。所以，x\,\! 的不確定性與 p\,\! 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p \,\! ，必定大於或等於 \hbar/2\,\! 。

參考文獻