卡塔兰常数

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卡塔兰常数 G，是一个偶尔出现在组合数学中的常数，定义为：
:G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots

其中β是。它的值大约为：

:G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G是有理数还是无理数。

积分恒等式
一些恒等式包括：

:G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} {\rm{d}} t
:G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} {\rm{d}}x {\rm{d}}y
:G = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\sin t \cos t} {\rm{d}}t

还有

: G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(k)\,{\rm{d}}x

其中K(x)\,是第一类完全椭圆积分，

: G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}{\rm{d}}x

应用
G出现在组合数学中，也出现在第二多伽玛函数（也称为三伽玛函数）的值中。

: \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G

: \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、\pi^2和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数
以下两个级数收敛得很快，可以用于计算卡塔兰常数的值：
:

以及

:G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

已知的位数
参考文献

• Victor Adamchik, [http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm 卡塔兰常数的33种表示法]
• Simon Plouffe, [http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html 一些与卡塔兰常数有关的恒等式], (1993) （有超过一百个不同的恒等式）

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