卡爾·弗里德里希·高斯

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（，，；），德国数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家，在数学和科学的诸多领域都有重要贡献。他曾担任德国哥廷根天文台台长，并自1807年起担任天文学教授，直至1855年去世。

高斯在哥廷根大学求学期间便已提出若干数学定理。作为独立学者，他撰写了经典著作《算术研究》和《天体运动理论》（）。高斯提供了代数基本定理的第二和第三个完整证明。在数论方面，他作出了诸多重要贡献，包括复合律、二次互反律、费马多边形数定理的一个特殊情况。他还研究了二元和三元二次型理论、十七边形作图方法以及超几何函数理论。由于他在科学与数学方面的广泛而深刻的贡献，现今有超过一百个数学与科学概念以他的名字命名。

在识别穀神星为矮行星的过程中，高斯起到了关键作用。他研究大行星对小行星运动的扰动，进而引入了高斯引力常數，并发展了最小二乘法（在阿德里安-马里·勒让德发表前就已发现）。1820年至1844年间，高斯主持了汉诺威王国的大地测量工作以及一项测弧计划；他是地球物理学的奠基人之一，并提出了磁学的基本原理。他的实用工作成果包括1821年发明的、1833年发明的磁强计，以及他与威廉·爱德华·韦伯共同于1833年建造的世界上第一台电磁电报机。

高斯是第一个发现并研究非欧几里得几何的人，这一理论也是由他命名。他还比约翰·图基和詹姆斯·庫利早约160年就发展出了快速傅里叶变换。

高斯拒绝发表未完成的研究，他的一些重要成果是在他去世后才由他人整理出版。他认为，学习的过程本身，而非知识的占有，才是最大的乐趣。尽管他并不热衷于教学而更倾向于专注于自己的研究，但他的部分学生，如戴德金和黎曼，后来也成为了杰出而有影响力的数学家。

生平
青年及学生时期
的出生地（二战期间被毁）]]
的家]]
高斯于1777年4月30日出生在布倫瑞克-沃爾芬比特爾親王國的不伦瑞克（今德国下萨克森州）。他的家庭社会地位较低。父亲盖布哈特·迪特里希·高斯（Gebhard Dietrich Gauss，1744–1808）从事过多种职业，包括屠夫、泥瓦匠、园丁以及丧葬互助基金的出纳员。高斯形容父亲为正直且受人尊敬，但在家中性格粗暴而专横。他的父亲在书写和计算方面颇有经验，而高斯的母亲多萝西娅（Dorothea，盖布哈特的第二任妻子）几乎不识字。高斯还有一个同父异母的哥哥。

高斯是数学神童。当小学老师注意到他的非凡才智时，便向不伦瑞克公爵报告，公爵随即资助他就读当地的查理学院（），他在那里从1792年读到1795年，期间曾师从埃伯哈德·奥古斯特·威廉·冯·齐默尔曼。此后，公爵继续资助他在哥廷根大学攻读数学、自然科学及古典语言，直至1798年。在哥廷根期间，他的数学教授是。高斯因克斯特纳擅写讽刺短诗，戏称他为“诗人中最会做数学的，数学家中最会写诗的”。他最喜爱的英文作家是沃尔特·司各特，最喜欢的德语作家是让·保罗。62岁时，他开始自学俄语，很可能是为了理解来自俄罗斯的科学著作，其中包括罗巴切夫斯基关于非欧几何的论文。高斯喜欢唱歌，也常去听音乐会。他勤奋地阅读报纸；在生命的最后几年里，他几乎每天中午都会去大学的学术阅报室。高斯对哲学兴趣不大，并嘲讽“那些所谓形而上学家的咬文嚼字”，他所指的是当时德国唯心主义中自然哲学学派的拥护者。

高斯具有“贵族气质和彻头彻尾的保守性格”，他对他人的智力与道德普遍缺乏敬意，信奉的座右铭是“世界想要被欺骗，那就让它被欺骗”（）。他不喜欢拿破仑及其体制，对一切形式的暴力和革命深感厌恶。因此，尽管他赞同1848年革命的一些目标，如德国统一，却谴责其手段。他对宪政制度评价甚低，批评当时的议会议员缺乏知识、逻辑混乱。

一些高斯的传记作者曾推测他的宗教信仰。他有时会说“上帝在做算术”和“我之所以成功，不是我的努力，而是主的恩典”。高斯是路德宗教会的成员，正如德国北部的大多数人一样，但他似乎并不全信路德宗的教义，也不将《圣经》完全按字面理解。据萨托里乌斯说，高斯的宗教信念激发了他“对真理永不满足的渴求”、对其他宗教的宽容以及强烈的正义感。

数学
代数和数论
代数基本定理
有时也被称为高斯平面]]
在他1799年的博士论文中，高斯证明了代数基本定理：每一个非常数的、复系数的一元多項式至少有一个复数根。在他之前，包括让·勒朗·达朗贝尔在内的一些数学家曾提出过错误的证明。高斯的论文中对达朗贝尔的工作进行了批评。此后，他又给出了另外三种证明方法，最后一次是在1849年，通常被认为是最严谨的。他在这项工作中极大地澄清了复数的概念。

《算术研究》
在《算术研究》序言中，高斯将他对数论研究的起点追溯至1795年。在研读了费马、欧拉、拉格朗日、勒让德等前人的著作后，他意识到自己独立发现的许多成果早已被这些数学家部分得出。《算术研究》写于1798年，出版于1801年；它确立了数论作为一门独立学科的地位，涵盖了初等數論和代數數論的内容。在书中，高斯引入了同余符号（），并以此清晰地展现模算數。他讨论了算术基本定理与原根问题。在主要章节中，高斯首次给出了二次互反律的两个证明，并发展了二元与三元二次型的理论。

《算术研究》中包含了二元二次型的高斯复合律，以及对一个整数表示为三个平方数之和的表达次数的计数。作为其“”的几乎直接的推论，他证明了费马多边形数定理中 n = 3 （即三角形）的情形。.在第五章末尾，高斯未给出证明地列出了一些关于类数的分析式结果，从中可以推测他在1801年时已经知道类数公式。

在最后一章，高斯证明了正十七边形可以尺规作图，这一几何问题被他归结为代数问题。他证明：一个正多边形可作，当且仅当其边数是2的幂，或是2的幂与若干互异的费马素数的乘积。在同一章节中，他还给出了一个关于某些系数在有限域上的三次多项式的解的个数的结果，该结果实质上是对椭圆曲线上的整点计数。他于1797至1799年间所做的一章未完成的工作，后来在他身后遗留下的手稿中被发现。

其他研究
高斯最早的一项成果是他于1792年凭经验提出的一个猜想，后来被称为素数定理，其通过对数积分估算素数的数量。

1816年，奥伯斯鼓励高斯参加法国科学院设立的费马大定理证明的征文比赛；高斯却拒绝了，认为这个题目无趣。然而，在他去世后，人们发现了一篇未注明日期的短文，其中包含了对 n = 3 和 n = 5 两种特殊情形的证明。n = 3 的情形早已由萊昂哈德·歐拉证明过，但高斯给出了更为简洁的证明，他引入了艾森斯坦整数，使得证明更具一般性但也比使用实整数的方法更加简单。

1831年，高斯在评审关于正三元二次型简化理论的著作时，对克卜勒猜想的求解作出了贡献。他在发现泽贝尔证明中存在一些不足之处后，对许多论证进行了简化，证明了核心猜想，并指出该猜想等价于规则排列下的开普勒猜想，即在三维空间中，当球心构成立方晶系结构时，球体堆积密度达到最大。

在两篇关于四次剩余的论文（1828年与1832年）中，高斯引入了高斯整数环\mathbb{Z}[i]，并证明它是唯一分解整環。他进一步推广了一些重要的算术概念，如费马小定理与高斯引理。引入这个整数环的主要目的是为了表述四次互反律。

在第二篇论文中，他陈述了四次互反律的一般形式，并证明了其中若干特殊情形。在更早的1818年发表的一篇论文中，他给出了二次互反律的第五与第六种证明，并指出这些证明中使用的技术（高斯和）可以推广以证明更高次的互反律。

分析
高斯最早的发现之一是两个正实数的算术-几何平均数的概念。他在1798至1799年间通过发现了其与椭圆积分之间的联系，并在日记中记录了高斯常數与之间联系的发现，这一结果被高斯称为“必将开启分析领域的全新天地”。他还很早就涉足了複分析基础中的一些形式问题。从1811年他写给贝塞尔的一封信可以看出，高斯已经知道复分析的基本定理（即柯西积分定理），并在研究围绕极点的积分时理解了留数的概念。

欧拉的五邊形數定理，加之他在算术-几何平均数和双纽线函数方面的研究，使他得出了许多关于雅可比Θ函數的结果他的相关工作表明，他早在1808年就已掌握椭圆函数的3阶、5阶、7阶模变换。

他遗稿中的若干数学片段表明，高斯已掌握现代模形式理论的某些部分。高斯对此类结构绘有一幅草图：单位圆盘内密鋪着每个角都为π/4的等边雙曲三角形。

高斯在分析中的洞察力一例，是他一句晦涩的评论：圆的尺规分割原理也可应用于双纽线曲线的分割，这一思路启发了阿贝尔的双纽线分割定理。另一个例子是他在1811年发表的论文《若干奇异级数的求和》（）中，通过引入二项式系数的q-模拟，并利用多个原创恒等式对其进行操作，解决了二次高斯和的正负性确定问题。这些恒等式似乎来源于他在椭圆函数理论中的工作；不过高斯将其论证以形式化方式展开，并未揭示其出自椭圆函数理论的本源，后来如雅可比与埃尔米特的工作才揭示了他论证的关键所在。

在1813年的《关于无穷级数……的一般研究》（）中，高斯首次系统地研究了一般超几何函数F(\alpha,\beta,\gamma,x)，并证明当时已知的许多函数都是超几何函数的特例。这一工作是数学史上对的首次精确探讨。此外，该文还研究了以超几何函数比值形式出现的无穷，今称。

1823年，高斯凭借一篇关于共形映射的论文赢得了丹麦科学院的奖项。该论文包含多个涉及复分析领域的重要发展。高斯指出，复平面中保持角度不变的映射必须是复解析函数，并利用后来被称为的形式，证明了解析曲面上的存在。论文最后举例说明了如何共形映射到球面和旋转類球面。

数值分析
高斯常常从他通过实验收集的数值数据中归纳出定理。因此，高效算法在辅助计算中的使用对他的研究至关重要；他在数值分析方面做出了许多贡献，例如1816年发表的高斯求积法。

在1823年写给的一封私人信件中，他描述了如何用高斯-赛德尔迭代解4×4的线性方程组——这是一种解线性系统的“间接”迭代法，并推荐在含有两个以上方程的系统中避免通常的“直接消元”法，而是使用这种方法。

1805年，在计算智神星和婚神星的轨道时，高斯发明了一种计算如今称为离散傅里叶变换的算法，比库利和图基找到他们相似的库利-图基快速傅里叶变换算法法早了160年。他将其发展为一种方法，但论文《插值理论的新方法处理》直到他去世后的1876年才发表，那时约瑟夫·傅里叶已在1807年独立提出了这一学科。

几何
微分几何
汉诺威的大地测量工作激发了高斯对微分几何与拓扑学的兴趣，这些数学领域处理曲线与曲面。他在1828年发表的论文标志着现代的诞生。该论文突破了传统方法——即将曲面视为双变量函数的笛卡尔图像——而转向从受限于其上运动的二维存在的“内部”视角来探索曲面。其结果就是絕妙定理（），确立了高斯曲率的一个性质。非正式地说，该定理表明，曲面的曲率可以完全通过在曲面上测量角度与距离来确定，而不依赖于曲面在三维或二维空间中的嵌入方式。

绝妙定理引出了将曲面抽象为二维流形的概念；它澄清了流形的内在性质（度量）与其所在空间中的物理实例之间的区别。其一个推论是：具有不同高斯曲率的曲面之间不存在等距变换。实用意义上，这意味着球面或椭球不能在不发生变形的情况下转化为平面，这在设计地图投影时造成了根本性问题。该论文的一部分专门研究测地线。高斯特别证明了关于测地三角形的局部高斯-博内定理，并将推广到任意具有连续曲率的曲面上的测地三角形；他发现，“足够小”的测地三角形的角度总和与具有相同边长的平面三角形的角度总和之间的差异，仅依赖于三角形顶点处曲率的数值，而与三角形内部曲面的形状无关。

高斯1828年的论文中并未包含测地曲率的概念。然而，在一份先前未发表的手稿中（极有可能写于1822–1825年间），他引入了“侧曲率”（）一词，并证明了其在等距变换下的不变性。这一结果后来由得到并于1830年发表。高斯论文包含了他关于总曲率引理的核心内容，但其推广则由在1848年发现并证明，即如今所知的高斯–博内定理。

非欧几里得几何
在高斯的一生中，欧几里得几何的平行公設是备受讨论的话题。许多人试图在欧几里得公理体系内证明该公设，同时也有数学家讨论在没有该公设的情况下建立几何体系的可能性。高斯自1790年代起便在思考几何的基础问题，但直到1810年代才意识到：一种没有平行公设的非欧几里得几何能够解决这一难题。在1824年写给的信中，他提出了一份简明扼要的提纲，称之为“非欧几里得几何”，但他强烈禁止陶里努斯加以利用。高斯被认为是最早发现并研究非欧几何的人，这一术语甚至也是由他首创。

数学史上关于非欧几里得几何的首批出版物由尼古拉·罗巴切夫斯基于1829年和鲍耶·亚诺什于1832年发表。在随后的几年里，高斯也将自己关于这一主题的想法记录下来，但并未发表，从而避免影响当时的科学讨论。高斯在写给亚诺什之父、自己的好友的信中称赞了亚诺什的思想，并声称这些思想与自己数十年来的设想一致。然而，他究竟在多大程度上早于罗巴切夫斯基和鲍耶，目前尚不清楚，因为他留下的文字记载含糊而晦涩。

于1856年首次提及高斯在非欧几里得几何上的工作，但直到1900年他的遗稿在《高斯全集》第八卷中出版，人们才看清他在这一问题上的思想，而当时非欧几里得几何仍是颇具争议的话题。

早期拓扑学
高斯还是拓扑学的早期先驱之一，在他那个时代这一领域被称为位置几何学（）。他1799年发表的代数基本定理的第一个证明中就包含了具有拓扑本质的论证；五十年后，在他对这一定理的第四个证明中，他进一步发展了这种拓扑论证。

他在1804年从事天文学研究时，再次接触到拓扑的概念。当时他确定了彗星和小行星可能出现的天球区域的界限，并将这一带称为“黄道带”。他发现，如果地球轨道和彗星轨道相互“”，那么基于拓扑原因，这一黄道带实际上就是整个天球。1848年，在小行星虹神星被发现的背景下，他又发表了一篇关于黄道带的定性讨论。

在1820年至1830年间的信件中，高斯对与位置几何学密切相关的主题进行了深入思考，并逐渐意识到这一领域的语义困难。这一时期的片段显示，他试图对所谓的“轨迹图形”进行分类，即具有有限个横截自交点的闭平面曲线，这些曲线也可能是扭结的平面投影。为此，他设计了一种符号体系，即，从某种意义上捕捉了轨迹图形的特征。

在1833年的一份手稿中，高斯通过某种二重积分定义了两条空间曲线的环绕数，并由此首次为一个拓扑现象提供了解析表述。在同一份文稿中，他感叹位置几何学的进展甚微，并指出该领域的核心问题之一将是“计算两条闭合曲线或无限曲线的环绕次数”。他那个时期的笔记还显示，他也在思考其他拓扑对象，例如辫与。，他提出了基本定理，即如何通过复数在二维平面上完全准确地表示三维立方体。他使用某些莫比乌斯变换在扩展复平面上的作用描述球体的旋转，并给出了三角形的三条高总是相交于一点（垂心）这一几何定理的新证明。

高斯数十年来一直关注約翰·納皮爾的——一种特殊的球面五角星；他从多个角度来研究它，逐渐全面理解了其几何、代数和分析方面的特征。特别是，在1843年，他提出并证明了若干定理，将椭圆函数、纳皮尔球面五边形以及平面上的彭赛列五边形联系起来。

此外，他还给出了在给定四邊形内作面积最大的椭圆的解法，也在五边形面积的计算上发现了一个出人意料的结果。

科学
天文学
1801年1月1日，意大利天文学家朱塞佩·皮亞齊发现了一颗新的天体，他根据提丢斯-波得定则认为这可能是长期寻觅的火星与木星之间的行星，并将其命名为穀神星。他只能观测到它一小段时间，之后它便消失在太阳的强光之中。当时的数学工具不足以根据有限的观测数据预测它再次出现的位置。高斯着手解决这个问题，并预测了1801年12月可能重新观测到它的位置。结果相当准确：在12月7日和31日于、海因里希·奧伯斯在1月1日和2日于不来梅分别独立地在高斯预测的位置附近重新观测到了这颗天体。

构造了一个八次方程，其中一个已知解是地球的轨道，所求的解则根据物理条件从剩下的七个解中排除出来。在这项工作中，高斯使用了为此而创建的综合近似方法。

谷神星的发现促使高斯研究行星受大行星扰动的运动理论，最终在1809年发表为《天体绕太阳以圆锥曲线运动之理论》（）。该著作引入了高斯引力常數。经过多年努力，他在1816年完成了这项工作，但结果仍未令他满意。这标志着他在理论天文学方面活动的结束。

高斯关于智神星摄动的研究成果之一是《引力的测定……》（，1818年），该文提出了一种后来被称为“椭圆环法”的理论天文学方法。文中引入了一个平均化的概念：将轨道上的行星替换为一个虚拟环，其质量密度与行星沿相应轨道弧运动所需的时间成正比。高斯详细介绍了计算这种椭圆环引力的方法，其中包括多个步骤；其中一步直接应用了算术-几何平均数算法来计算椭圆积分。

即便高斯在理论天文学方面的工作告一段落，他在观测天文学上的更为实用的活动仍然持续贯穿了他的整个职业生涯。早在1799年，高斯就研究了利用月球视差确定经度的问题，并为此推导出了比当时常用公式更为便利的计算方法。担任天文台台长后，从他与贝塞尔的通信中可以得知他非常重视基本天文常数。高斯本人提供了章動与光行差、太阳坐标、折射的表格。他对球面幾何學作出了诸多贡献，并在此背景下解决了天文航海的一些实际问题。他发表了大量观测结果，主要涉及小行星和彗星；他的最后一次观测是1851年7月28日日食。

历法
高斯在博士论文之后发表的第一篇论文（1800年）涉及复活节日期的确定，这是一个基础的数学课题。高斯的目标是为没有教会历法乃至天文历法知识的人提供便利的算法，因此避免使用通常的术语，如、閏餘、、主日字母，也在表述上避免任何宗教色彩。这一选题选择很可能有历史背景。16世纪儒略曆被格里高利历取代，这在神圣罗马帝国引发混乱，而德国直到1700年才完成替换，将相差的十一天删除。即便如此，复活节在新教和天主教地区仍然日期不同，直到1776年通过协议才消除了这一差异。在新教诸侯国，例如不伦瑞克公国，1777年的复活节——在高斯出生前五周——是首次按新方法计算的复活节。在统计学史上，这一分歧被称为“最小二乘法发现的优先权之争”。

在第一部分论文中，他证明了针对单峰分布的（切比雪夫型不等式），并在未给出证明的情况下陈述了另一个关于四阶矩的不等式（即高斯–温克勒不等式的特例）。他给出了样本方差的方差的上下界。在第二部分论文中，高斯描述了遞迴最小平方濾波器。他在误差理论方面的研究后来被大地测量学家在多个方向上加以拓展，形成了高斯–黑尔默特模型。

高斯还对概率论中一些与误差理论并不直接相关的问题作出贡献。其中一个例子出现在他的日记中：他试图描述在 (0,1) 区间内均匀分布的随机数，其连分数展开中各项的渐近分布。他推导出了这一分布，即如今所称的，这是他在发现的遍历性过程中顺带得到的结果。高斯的解决方案是连分数度量论中有史以来的首个成果。

大地测量学
国王下令批准三角测量项目（下方附有伯爵的签名）]]

自1799年起，高斯便忙于大地测量方面的工作。当时他在卡爾·路德維希·馮·勒科克对西發里亞地区的测量中协助进行计算。自1804年开始，他在不伦瑞克和哥廷根自学了一些实用的大地测量技术。

自1816年起，高斯的前学生、当时在哥本哈根任教授、但居住在荷尔斯泰因公国汉堡阿尔托纳区任区内天文台台长的海因里希·克里斯蒂安·舒马赫开始从北部的斯卡恩到南部的劳恩堡对日德兰半岛开展三角測量。该项目不仅为地图制作奠定基础，也旨在确定两个端点之间的大地测量弧。大地测量弧的数据用于确定地球大地水准面的尺寸，而较长的弧段可带来更精确的结果。舒马赫请求高斯将此项工作向南延伸到汉诺威王国；高斯经过短暂犹豫后同意。1820年5月，喬治四世国王最终下令委托高斯执行此项任务。

需要对测量网络中至少两个点进行精确的天文定位。巧合的是，哥廷根和阿尔托纳两个天文台（后者位于舒马赫住宅的花园中）几乎处在同一经线上，这一点被高斯和舒马赫加以利用。纬度则通过他们各自的仪器，运输至两地的天頂望遠鏡共同测定。

高斯和舒马赫早在1818年10月就已测定了一些用于大地连接的角度，如吕讷堡、汉堡和劳恩堡之间的角度。1821年至1825年的夏季间，高斯亲自指导三角测量工作，从南部的图林根一直到北部的易北河。位于、图林根林山中的以及哈茨山中的布罗肯峰之间的三角形，是高斯测量过的最大三角形，其最大边长达107公里。在地广人稀、缺乏显著天然山峰或人工建筑的呂訥堡石楠草原上，他很难找到合适的三角测量点；有时不得不在植被中开辟测量通道。

1828年，在研究纬度差异时，高斯首次将地球的形状定义为：在每一点上都与重力方向垂直的物理表面；后来他的博士生约翰·贝内迪克特·利斯廷将其命名为大地水准面。

磁学和电报
地磁学
高斯自1803年起便对磁学产生兴趣。1826年亚历山大·冯·洪堡访问哥廷根后，两位科学家开始对地磁进行深入研究，部分各自独立，部分则密切合作。1828年，高斯前往柏林做客洪堡主持的的会议，并在此结识了物理学家威廉·韦伯。

1831年，在高斯的推荐下，韦伯接替担任哥廷根大学物理学教席，两人因此开始了卓有成效的合作。他们共同推动了磁学研究的发展，并以质量、电荷和时间为基准建立了新的磁学单位体系。他们还创立了“磁学协会”（），这是一个由多家天文台组成的国际合作组织，1836至1841年间，它们在约定的日期、使用统一的方法，在世界各地进行地磁场测量。

1836年，洪堡致信时任皇家学会会长萨塞克斯公爵，建议在大英帝国领地内建立全球性的地磁观测站网络，并强调应按照他的方法在标准化的条件下进行磁场测量。在其他倡议者的推动下，这最终促成了由爱德华·赛宾领导的全球性计划，即所谓的“磁学十字军运动”。观测的日期、时间与间隔都预先规定，并统一采用哥廷根平均时间作为标准。来自五大洲的61个观测站参与了该计划。高斯与韦伯创办了出版观测结果的丛书，1837至1843年间共出版六卷。1843年，因哥廷根七君子事件的后续影响，韦伯离任前往莱比锡，这也标志着磁学协会活动的终结。此外，相关数据还使得磁极位置得以相当精确地确定。

高斯也对俄国地球物理学的开端产生影响。他的学生在圣彼得堡建立了一座磁观测台，以哥廷根观测台为典范；也在喀山做了类似的工作。

高斯试图制定描述电磁感应的定量规律，这表明了他对电磁学的主要理论兴趣。在这些年留下的笔记中，他记录了若干创新性的公式；其中包括他发现的向量勢函数（后来于1845年被独立重新发现）。1835年1月，他写下了一条“感应定律”，与法拉第定律等价，指出空间中某点的電動勢等于该函数对时间的瞬时变化率。

高斯还试图为靜電學、电动力学、电磁学、电磁感应的远距效应寻找一条统一规律，类似于牛顿的万有引力定律，但这项努力最终以“悲剧性的失败”告终。他在近轴近似下仅用光学系统的基點刻画系统，并推导出适用于任意透镜厚度、无额外限制的高斯透镜公式。

力学
高斯在力学方面的首项研究与地球自转有关。1802 年，他的大学好友进行实验，以测定下落物体偏离垂直方向的量（即今日所谓的科里奥利力）。本岑贝格请高斯基于理论计算这些偏移值，以便与实验结果比较。高斯据此推导出一套描述运动的基本方程，其结果与本岑贝格的测量数据相当吻合。本岑贝格随后在其关于自由落体实验的著作中，将高斯的分析作为附录收入。

1851年傅科通过公开摆实验展示地球自转后，格尔林向高斯询问相关的进一步解释。这促使高斯设计了一种新的示范装置，其摆长远短于傅科摆。该装置通过读数望远镜观察摆动，并利用一个垂直刻度尺及安装在摆上的小镜子进行测量。装置的细节见于高斯与格尔林的通信中；韦伯曾于1853年用此装置做过一些实验，但并未发表数据。

高斯在1829年提出的，旨在作为一个广义概念来克服力学中将静力学与动力学分割的传统，把達朗貝爾原理与拉格朗日虛功原理结合起来，并展现出与最小二乘法之间的类比关系。

计量学
1828年，高斯被任命为汉诺威王国度量衡委员会主席。他负责制定长度和计量。高斯亲自处理繁琐的测量工作，并对机械结构的制作提出了详细要求。在与同样从事该领域工作的舒马赫的通信中，他提出了若干用于高精度天平的新构想。1841年，他向政府提交了关于汉诺威英尺与磅的最终报告。由于1836年的一项法律将汉诺威的度量衡体系与英国体系相互接轨，这项工作因此获得了国际性的意义。、法国科学院（1804/1820年）、伦敦皇家学会（1804年）、柏林普鲁士科学院（1810年）、维罗纳（1810年）、爱丁堡皇家学会（1820年）、慕尼黑巴伐利亚科学与人文学院（1820年）、丹麦皇家科学院（1821年）、英國皇家天文學會（1821年）、瑞典皇家科学院（1821年）、美国文理科学院（1822年）、布拉格（1833年）、（1841/1845年）、（1843年）、都柏林（1843年）、荷蘭皇家藝術與科學學院（1845/1851年）、西班牙科學院（1850年）、俄羅斯地理學會（1851年）、维也纳帝国科学院（1848年）、美國哲學學會（1853年）、，以及哈勒姆。

喀山大学与布拉格大学哲学院均于1848年授予他名誉院士称号。

高斯于1809年获法国科学院颁发的拉朗德獎，以表彰他在行星理论以及只利用三次观测即可确定行星轨道的方法方面的贡献；1823年，他因关于保角投影的论文获得丹麦科学院奖；1838年，因“其在磁学方面的发明与数学研究”而获皇家学会授予的科普利獎章。；1842年普鲁士设立功绩勋章（平民级）时，他成为首批成员。他还获得了（1810年）、丹麦达尼布洛勋章（1817年）、汉诺威皇家圭尔夫勋章（1815年）、瑞典（1844）、（1849年），以及巴伐利亚科学与艺术勋章（1853年）。

汉诺威国王授予他“宫廷顾问”（，1816年）及“机密宫廷顾问”（，1845年）的荣誉头衔。1849年，在他的博士学位金禧纪念之际，他被授予不伦瑞克和哥廷根两地的榮譽市民称号。高斯逝世后不久，汉诺威国王格奧爾格五世下令铸造了一枚纪念章，背面题辞为“致首席数学家”。

哥廷根高斯协会（）成立于1964年，旨在研究高斯及相关人物的生平与著作，并出版《高斯协会通讯》（）。

以高斯命名的事物