在数学中，级数展开是将一个函数展开成级数，或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符（加、减、乘、除）无法表达的函数的方法。
由此产生的级数往往可以通过仅取有限项，产生近似。序列中使用的项越少，近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数，开放区间上的级数展开是一个近似值。
级数展开的种类
这里介绍了若干种级数展开的方式：
泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说，如果函数 f: U\mapsto\mathbb{R} 在x_0附近是无限可微的，那么f在该点周围的泰勒级数为\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n，按照惯例0^0 := 1。f的麦克劳林级数是其在x_0 = 0处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸，允许负指数项；它的形式是 \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k (z - a)^k并在环内收敛。
广义狄利克雷级数具有 \sum_{n = 1}^{\infty} a_ne^{-\lambda_n s}的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}。\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地，一个周期为2L的函数f(t)的傅里叶级数为：
a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right)
其中系数为：
a_n := \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)dtb_n := \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt.在声学中，基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。
斯特林公式\text{Ln}\Gamma\left(z\right)\sim\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln z-z+\tfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}是对数Γ函数的一个近似值。
例子
下式为e^x 的泰勒级数：
e^x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}...
黎曼ζ函数：
\zeta(s) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \cdots
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