。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。]]
在量子力學裏，Delta位勢阱是一個阱內位勢為負狄拉克Delta函數，阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若，粒子的能量是正值的，我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時，我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。
定義
一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為
:- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!；
其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，E\,\!是能量，\psi(x)\,\!是波函數，V(x)\,\!是位勢，表達為
:V(x)= - \lambda\delta(x)\,\!；
其中，\delta(x)\,\!是狄拉克Delta函數，\lambda\,\!是狄拉克Delta函數的強度。
導引
這位勢阱將一維空間分為兩個區域：x與x>0\,\!。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加（參閱自由粒子）：
:\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x，
:\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!；
其中，A_r\,\!、A_l\,\!、B_r\,\!、B_l\,\!都是必須由邊界條件決定的常數，下標r\,\!與l\,\!分別標記波函數往右或往左的方向。k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!是波數。
當E>0\,\!時，\psi_L\,\!與\psi_R\,\!都是行進波。可是，當E時，\psi_L\,\!與\psi_R\,\!都隨著座標x\,\!呈指數遞減或指數遞增。
在x=0\,\!处，邊界條件是：
:\psi_L=\psi_R\,\!，
:\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!。
特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在x=0\,\!並不是連續的，在位勢阱兩邊的差額有\frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於x=0\,\!的一個非常小的鄰域：
:: - \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx +\int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!；(1)
其中，\epsilon\,\!是一個非常小的數值。
方程式(1)右邊的能量項目是
:E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!。(2)
当\epsilon \to 0\,\!时，该項趋向于0。
方程式(1)左邊是
: - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) - \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!(3)
根據狄拉克Delta函數的定義，
:\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!。(4)
而在\epsilon \to 0\,\!的極限，
:\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!，(5)
:\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!。(6)
將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，整理后，可以得到第二個邊界條件方程式：在x=0\,\!，
:\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx}+\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!。
從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：
:A_r+A_l=B_r+B_l\,\!，
:ik(A_r - A_l - B_r+B_l)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!。
散射態
假若，能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間，x或x>0\,\!。在這裏，粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態為散射態。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定A_r=1\,\!，A_l=r\,\!，B_l=0\,\!，B_r=t\,\!。求算反射的機率幅r\,\!與透射的機率幅t\,\!：
:r= -\ \cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} + 1}\,\!，
:t=\cfrac{1}{ - \ \cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!。
反射係數是
:R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!。
這純粹是一個量子力學的效應；在經典力學裏，這是不可能發生的。
透射係數是
:T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!。
*由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
*很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。
束縛態
每一個一維的吸引位勢，都至少會存在著一個束縛態（）。由於E，波數變為複數。設定\kappa= - ik=\sqrt{2m |E|/\hbar^2}\,\!。前述的振盪的波函數\psi_L\,\!與\psi_R\,\!，現在卻隨著座標x\,\!呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性，我們要求波函數不發散於x\to\pm \infty\,\!。那麼，A_r\,\!與B_l\,\!必須被設定為0。波函數變為
:\psi_L(x)= A_l e^{\kappa x}\,\!，
:\psi_R(x)= B_r e^{ - \kappa x}\,\!。
從邊界條件與歸一條件，可以得到
:A_l=B_r=\sqrt{\kappa}\,\!，
:\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2}\,\!。
Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是
:E= -\ \frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}= -\ \frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}\,\!。
束縛態的波函數是
:\psi(x)= \frac{\sqrt{m\lambda}}{\hbar}e^{ - m\lambda\mid x\mid /\hbar^2}\,\!。
Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度V_0\to\infty\,\!與阱寬L\to 0\,\!的極限，同時保持V_0 L=\lambda\,\!，就可以從有限深位勢阱的波函數，得到Delta位勢阱的波函數。
雙井迪拉克Delta函數模型
Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 达德利·赫施巴赫（“Dudley R. Herschbach”）團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用，因其代表一維版的水分子離子。
雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述：
:-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x) +V(x)\psi(x) = E\psi(x)
電位現為：
:V(x)=-q \left[ \delta(x - \frac{R}{2}) + \lambda \delta(x+ \frac{R}{2}) \right]
其中 0 是「核間」距離於迪拉克Delta函數（負）峰值位於 x= \pm {\textstyle \frac{R}{2}} （圖表中棕色所示）。記得此模型與其三維分子版本的關係，我們用原子单位制且設\hbar = m=1。此處 0 為一可調參數。從單井的例子，可推論擬設於此解為：
: \psi(x) ~ = ~ A e^{-d \left|x - \frac{R}{2}\right|} + B e^{-d \left|x + \frac{R}{2} \right|}
令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式：
:
\left| \begin{array}{cc} q - d & q e^{-d R} \\ q \lambda e^{-d R} & q \lambda - d \end{array} \right| = 0 ~,
\qquad E = -\frac{d^2}{2} ~.
因此， d 是由偽二次式方程：
:
d_{\pm}(\lambda)~=~{\textstyle\frac{1}{2}}q(\lambda+1)
\pm {\textstyle\frac{1}{2}}
\left\{ q^2(1+\lambda)^{2}-4\,\lambda q^2 \lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda
)R}]\right\} ^{1/2}
它有兩解 d=d_{\pm} 。若等價情況（對稱單核），\lambda =1 則偽二次式化為：
:
d_{\pm} = q [1 \pm e^{-d_{\pm} R}]
此「+」代表了對稱於中點的波函數（圖中紅色）而 A = B 稱為偶態。接著，「-」情況為反對稱於中點的波函數其 A = -B 稱為非偶態（圖中綠色）。它們代表著三維 H_2^{+} 的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為：
:
d_{\pm} = q ~+~ W(\pm q R e^{-q R} )/R
其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解 d_{+}。當非等電價，此為三維分子問題，其解為一般化Lambert W函數（見一般化朗伯W函数章節與相關參考）。
外部链接
參閱
*自由粒子
*無限深方形阱
*有限深方形阱
*有限位勢壘
*球對稱位勢
*Delta位勢壘
*量子穿隧效應
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