Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義
。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。]]

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為
:- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!；

其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是粒子質量，x\,\!是粒子位置，E\,\!是能量，\psi(x)\,\!是波函數，V(x)\,\!是位勢，表達為

:V(x)=\lambda\delta(x)\,\!；

其中，\delta(x)\,\!是狄拉克Delta函數，\lambda\,\!是狄拉克Delta函數的強度。

導引
這位勢壘將一維空間分為兩個區域：x與x>0\,\!。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

:\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x，
:\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!；

其中，A_r\,\!、A_l\,\!、B_r\,\!、B_l\,\!都是必須由邊界條件決定的常數，下標r\,\!與l\,\!分別標記波函數往右或往左的方向。k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!是波數。

由於E>0\,\!，\psi_L\,\!與\psi_R\,\!都是行進波。這兩個波必須滿足在x=0\,\!的邊界條件：

:\psi_L=\psi_R\,\!，
:\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在x=0\,\!並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有 - \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於x=0\,\!的一個非常小的鄰域：
:: - \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx + \int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!；(1)

其中，\epsilon\,\!是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是
:E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!。(2)

在\epsilon \to 0\,\!的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是
: - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) + \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，
:\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!。(4)

而在\epsilon \to 0\,\!的極限，

:\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!，(5)
:\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在x=0\,\!，
:\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx} - \frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

:A_r+A_l=B_r+B_l\,\!，

:ik(A_r - A_l - B_r+B_l)= - \frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!。

反射與透射
由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，x或x>0\,\!。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定A_r=1\,\!，A_l=r\,\!，B_l=0\,\!，B_r=t\,\!。求算反射的機率幅r\,\!與透射的機率幅t\,\!：
:r=\cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} - 1}\,\!，
:t=\cfrac{1}{\cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!。

反射係數是
:R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!。

透射係數是
:T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

*由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
*很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱
*自由粒子
*無限深方形阱
*有限深方形阱
*有限位勢壘
*球對稱位勢
*Delta位勢阱
*量子穿隧效應