超積

數學上，超積（）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的。超冪（）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

定義
超積的一般定義中，先選定指標集I、對應每個下標i \in I的结构\mathcal M_i（具相同的），以及I上的超濾子\mathcal U。通常僅考慮I為無窮集，且\mathcal U不為主超濾子的情況，即\mathcal U的元素有齊I的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡儿积
:\prod_{i \in I} \mathcal M_i

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算+，(\boldsymbol a + \boldsymbol b)_i = a_i + b_i。然後，在笛氏積上，定義等价关系\sim，使\boldsymbol a \sim \boldsymbol b當且僅當

:\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in \mathcal U

（應當理解為「\boldsymbol a與\boldsymbol b在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模\sim的商集。所以，該超積有時記為

:\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U .

另一種看法是，在指標集I上，定義一個有限可加的测度m（弱於一般可數可加的條件），僅取0, 1二值，若A \in \mathcal U則稱m(A) = 1，否則稱m(A) = 0。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他同理可作引申：

:R([\boldsymbol a^1],\ldots,[\boldsymbol a^n]) \iff \left\{ i \in I: R^{\mathcal M_i}(a^1_i,\ldots,a^n_i) \right\}\in \mathcal U,

其中[\boldsymbol a]表示\boldsymbol a模\sim所屬的等價類。

特別地，若每個\mathcal M_i皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子\mathcal M_i皆相等的超積：

: \mathcal M^I/\mathcal U=\prod_{i\in I} \mathcal M/\mathcal U.\,

也可以推廣到\mathcal U不為超濾子，而僅為I上普通一個滤子的情況。此時所得的模型\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U稱為約化積（）。

例子
超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，\omega_n = n的序列(\omega_n)所在的等價類，記為超實數\omega，比任意實數都要大，因為對於任意實數r，(\omega_n)除有限項外皆比r大。於是，\omega可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義、等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數\psi為序列\psi_n = 2n所在的等價類。由於對每個n都有\psi_n > n = \omega_n，在超積中，有\psi > \omega，所以\psi是較原先構造出的\omega更大的無窮大數。又考慮與\omega_n = n類似的序列(\chi_n)，令n \neq 7時，\chi_n = n，但\chi_7 = 8。則雖然兩個序列(\chi_n) \neq (\omega_n)，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有\omega = \chi。

大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子\mathcal U，然後取整個集合論全類關於\mathcal U的超積。此時，\mathcal U的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若\mathcal U可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在有提及。

沃希定理
沃希定理（），又稱超積基本定理，由所證（）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積\prod \mathcal M_i/ \mathcal U中為真，當且僅當使該公式在\mathcal M_i中成立的指標i的集合，是\mathcal U的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」\mathcal M_i皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵\sigma，指標集I，其上的超濾子\mathcal U，且對每個i \in I，有\sigma結構\mathcal M_i。又設\mathcal M為\mathcal M_i關於\mathcal U之超積，即\mathcal M = \prod_{i \in I} \mathcal M_i / \mathcal U。則對任意n個多元組 a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod \mathcal M_{i} ，其中 a^{k} = (a^k_i)_{i \in I} ，以及對任意\sigma公式\varphi，

: \mathcal M \models \varphi(a^1, \ldots, a^n) \iff \left\{ i \in I : \mathcal M_{i} \models \varphi(a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} )\right\} \in \mathcal U.

定理對公式\varphi的複雜度歸納得證。\mathcal U為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的。

實例
設R為結構\mathcal M上的一元關係，並構造\mathcal M的超冪。則集合S=\{x \in \mathcal M:\mathcal M \models R x\}在超冪中有對應的子集{}^S，而在\mathcal M中，對S量化且為真的一階公式，將S換成{}^S後，仍在超冪中成立。例如，設\mathcal M = \mathbb R為實數集。設Rx表示「x為有理數」。則在\mathcal M中，對每對有理數x ，總有無理數z介於兩者之間。即：
:\mathcal M \models (\forall x) (\forall y)(Rx \wedge Ry \wedge (x
既然有理數集S此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集{}^*S仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數x同時滿足x > 1,\ x> 1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數\omega，就比1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots都要大。

超冪的正極限（超極限）
模型論和集合論中，常考慮一列超冪的（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（）或極限超冪（）。

從某結構\mathcal A_0和超濾子\mathcal U_0開始，構造出超冪\mathcal A_1，並重複，得到\mathcal A_2等。對每個n，有典範對角嵌入\mathcal A_n\hookrightarrow \mathcal A_{n+1}。在極限階段，如\mathcal A_\omega，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。

參見
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參考資料
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