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雅可比橢圓函數

Wikipedia · 2022-07-29 维基百科 👁 1 阅读

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

介紹
雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s\, c\, d\, n\,。

視此矩形為複數平面的一部分，s \, 是原點，c\, 是實軸上的一點 K,d \, 是 K+{\rm{i}}K'\,，n\, 是 {\rm{i}}K'\,。K\, 與 {\rm{i}}K'\, 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 {\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,。為方便起見，取變數 p, q \,意指矩形上的任一對頂點，則函數 pq\, 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

  • p\, 是單零點，q\, 是單極點。
  • pq\, 在 \vec{pq} 方向的週期等於 p,q\, 距離的兩倍。對另兩個從 p \,出發的方向，pq \,亦滿足同樣性質。
  • pq\, 在頂點 p \, q\, 的展式首項係數均為一。

表列如次：

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆
以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設
:u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.

橢圓正弦函數 sn u 定義為
:\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,

而橢圓余弦函數 cn u 定義為
:\operatorname {cn}\; u = \cos \phi

同理，椭圆德尔塔函数有
:\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,
這裡的 m \in \mathbb{R} 是自由變元，通常取 0 \leq m \leq 1。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數
雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达：
*\mathrm{arcsn}\,(z,k) = \int_0^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
*\mathrm{arccn}\,(z,k) =\int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}
*\mathrm{arcdn}\,(z,k) = \int_z^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(t^2+k^2-1)}}

*\mathrm{arcns}\,(z,k) = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(t^2-k^2)}}
*\mathrm{arcnc}\,(z,k) =\int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2)(k^2+t^2)}}
*\mathrm{arcnd}\,(z,k) = \int_1^z \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t^2-1)(1-(1-k^2)t^2)}}

用Θ函數来定义
雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把\vartheta(0;\tau)简写为\vartheta，把\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)分别简写为\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}（Theta常数），那么椭圆模k是k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2。如果我们设u = \pi \vartheta^2 z，我们便有：

:\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}

:\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}

:\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}

加法定理
:\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,

:\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 \mathbb{P}^3(\mathbb{C}) 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

:\operatorname{cn}(x+y) =
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)

  • \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)

\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},

:\operatorname{sn}(x+y) =
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},

:\operatorname{dn}(x+y) =
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)

  • k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)

\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.

函数的平方之间的关系
:
-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2

:
(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2

:
(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2

:
\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2

常微分方程的解
三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

  • \mathrm{sn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,和 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)的解；
  • \mathrm{cn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,和 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)的解；
  • \mathrm{dn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,和 \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)的解。

图像
文獻

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3
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