在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數f, g的等化子，是方程f(x) = g(x)的。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的。
定義
設X與Y為集合。又設f, g為從X至Y的函數。則f與g的等化子為X中所有滿足f(x) = g(x)的元素x的集合，以符號表示為：
: \operatorname{Eq}(f, g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}.
等化子可以表示成\mathrm {Eq}(f, g)或類似的符號，如改成小楷\mathrm{eq}。有時非正式地寫成\{f = g\}。
上述定義用到兩個函數f,g ，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若\mathcal F是一族函數，從X映向Y，則\mathcal F的元素的等化子，是使f(x)對所有f \in \mathcal F皆相等的元素x \in X的集合。以符號表示：
: \operatorname{Eq}(\mathcal{F}) := \{x \in X \mid \forall f,g \in \mathcal{F}, \; f(x) = g(x)\}.
若\mathcal F可以寫成\{f, g, h, \ldots \}，則等化子亦記為\mathrm{Eq}(f, g, h, \ldots)。此情況下，亦可非正式地寫成\{f = g = h = \cdots \}。
作為一般定義的退化，考慮\mathcal F為單元集\{f \}。由於f(x)必然等於自己，等化子等於整個定義域X。更退化的情況下，設\mathcal F為空集。則等化子仍為全個定義域X，因為條件的全稱量化命題為。
差核
二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（）。f, g的差核可以記為\mathrm{DiffKer}(f, g)、\mathrm{Ker}(f, g)、\mathrm{Ker}(f - g)。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數f的核，可以作為差核\mathrm {Eq}(f, \boldsymbol 0)找到，其中\boldsymbol 0表示取零值的常數函數。
以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，0的原像，但在範疇論定義中，並不一定。
範疇論
等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。
一般地，在任意範疇中，設X, Y為物件，而f, g為自X往Y的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而f, g的等化子，則是該圖表的極限。
具體而言，等化子是物件E與態射\mathrm {eq}: E \to X的整體，滿足f \circ eq = g \circ eq，且對任意物件O與態射m : O \to X，若有f \circ m = g \circ m，則存在唯一的態射 u : O \to E，使得\mathrm {eq} \circ u = m。
其中態射m:O \rightarrow X滿足的條件，即f \circ m = g \circ m，又稱為等化（）f與 g。
在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇\mathbf{Set}，物件E總可以按原始定義（即\{x: f(x) = g(x)\}）選取，而相應的態射\mathrm {eq}則是E作為X子集的包含映射。
可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而\mathrm{eq}可以取為任何由E至X的同構。
但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件X和Y，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是X和Y的範疇論積，而非所求的等化子（應為X）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域X密切相關（例如在集合範疇的情況下，X出現在定義式中），但與Y的關聯則僅在於Y是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則Y不必出現，故圖僅有X。此圖的極限，是任何E與X間的同構。
可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇，則兩種定義一致。
範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於上的範疇，粗略而言，即每個態射集\mathrm{Hom}(A, B)皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即\mathrm{Eq}(f, g) = \mathrm{Ker}(f - g)，其中\mathrm{Ker}表示。
若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。
參見
*，等化子的對偶概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
*，不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
*拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。
參考文獻
外部鏈結
*
*[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php 一個互動網站]，給出有限集範疇中的等化子例子。由[https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine]編寫。
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