自由粒子

在物理學裏，自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏，一個自由粒子所感受到外來的淨力是0。

假若，一個粒子的能量大於在任何地點x\,\!的位勢，E > V(x) \,\!，不會被位勢束縛，則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義，還要求位勢為常數V(x)=V_0 \,\!。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢，E > V(x) \,\!，不會被位勢束縛，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於V_0\,\!的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值，可以設定位勢為0，再根據新舊位勢的差額，調整能量。

古典自由粒子
古典自由粒子的特點是它移動的速度\mathbf{v}\,\!是不變的。它的動量\mathbf{p}\,\!是
:\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!。

其中，m\,\!是粒子的質量。

能量E\,\!是
:E=\frac{1}{2}mv^2\,\!。

非相對論性的自由粒子
描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為
: - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)；

其中，\hbar是約化普朗克常數，\Psi(\mathbf{r},t)是粒子的波函數，\mathbf{r}是粒子的位置，t是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：
:\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}；

其中，\mathbf{k}是波向量，\omega是角頻率。

將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
:\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega\,\!。

由於粒子存在的機率等於1，波函數\Psi(\mathbf{r},t)\,\!必須歸一化，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的期望值是
:\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \Psi | - i\hbar\nabla|\Psi\rangle = \hbar\mathbf{k}\,\!。

能量的期望值是

:\langle E\rangle=\langle \Psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = \hbar\omega\,\!。

代入波向量\mathbf{k}\,\!與角頻率\omega\,\!的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：
:\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}\,\!。

波的群速度v_g\,\!定義為
:v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = v\,\!；

其中，v\,\!是粒子的經典速度。

波的相速度v_p\,\!定義為
:v_p=\frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}\,\!。

在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為
:\Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}\,\!；

其中，積分區域\mathbb{K}是\mathbf{k}-空間。

為了方便計算，只考虑一維空間，
:\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k \,\!；

其中，振幅A(k)\,\!是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為
: A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,\ 0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x \,\!；

其中，\Psi(x,\ 0)\,\!是在時間t=0\,\!的波函數。

所以，知道在時間t=0\,\!的波函數\Psi(x,\ 0)\,\!，通過傅立葉轉換，可以推導出在任何時間的波函數\Psi(x,t)\,\!。

相對論性的自由粒子
相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：
*克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。
*狄拉克方程描述相對論性的電子（自旋為1/2\,\!）的量子行為。

參閱

• 態疊加原理
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 波包