歸一條件

在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，或規範化，），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 1 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

:\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1 ;

其中，x 是粒子的位置，\psi(x) 是波函數。

歸一化導引
一般而言，波函數 \psi 是一個複函數。可是，\psi^* \psi = \mid \psi \mid ^2 是一個實函數，大於或等於 0 ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 [x,\ x+\Delta x] 內，找到粒子的機率 \Delta P 是
:\Delta P =\mid \psi \mid ^2 \Delta x ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是 1 。所以，積分於整個一維空間：

:P= \int_{ - \infty}^{\infty} \mid \psi \mid ^2 dx = 1 。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 \psi ，其機率 P 是有限的，但不等於 1 ，則可以將波函數 \psi 乘以一個常數，使機率 P 等於 1 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 P 等於 1。

實例
在一維空間內，束縛於區域 [0,\ \ell] 內的一個粒子，其波函數是
:\psi (x,\ t) = \begin{cases} Ae^{i(kx - \omega t)}, & 0\le x \le \ell \\ 0, & elsewhere \end{cases} ；

其中，k 是波數，\omega 是角頻率，A 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 A 。將波函數代入：
: \mid \psi \mid ^2 = A^2 e^{i(kx - \omega t)} e^{ - i(kx - \omega t)} =A^2 。

積分於整個粒子存在的區域：
:\int_{0}^{\ell} A^2 dx= 1 。

稍加運算，
:A^2 \ell = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right ) 。

歸一化的波函數是：
: \psi (x,t) = \begin{cases} \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )e^{i(kx - \omega t)}, & 0 \le x \le \ell \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases} 。

薛丁格方程的形式不變
薛丁格方程為
: \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x) ；

其中，\hbar 是約化普朗克常數，V(x) 是位勢，E 是能量。

將波函數 \psi 歸一化為 \psi\,'=A\psi 。則薛丁格方程成為
: \frac{ - \hbar^2}{2m} A\frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) A \psi(x) = E A \psi(x)

: \Rightarrow A \left ( \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) \right ) = A \left ( E \psi(x) \right )

: \Rightarrow \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x) 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 \psi 和 \psi\,' 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性
給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 A 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 \psi(x,\ t) 滿足薛丁格方程與歸一條件：
: \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x) \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} ，
:P=\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*\psi\ dx=1 ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 P 不含時間。為了顯示這一點，先計算 \frac{dP}{dt} ：
:\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^(x,\ t)\psi(x,\ t)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^(x,\ t)\psi(x,\ t))\ dx 。

展開被積函數
:\frac{\partial}{\partial t}(\psi^\psi)=\frac{\partial\psi^}{\partial t}\psi+\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t} 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數 \psi 對於時間的偏導數：
:\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi 。

共軛波函數 \psi^* 對於時間的偏導數為
:\frac{\partial \psi^}{\partial t}= \frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* 。

將 \psi 與 \psi^* 代入被積函數
:\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^\psi) & = \left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^ \right)\psi+\psi^\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \right) \\
& =\left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^}{\partial x^2} \right)\psi+\psi^\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\
& =\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^}{\partial x}\psi\right)\\ \end{align}。

代入 \frac{dP}{dt} 的方程式:
:\frac{dP}{dt}=\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\left[\left.\left(\psi^\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^}{\partial x}\psi\right)\right|_{\infty} - \left.\left(\psi^\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^}{\partial x}\psi\right)\right|_{ - \infty}\right] 。

可是，在 x=\pm \infty ，\psi 與 \psi^* 都等於 0 ．所以，
:\frac{dP}{dt}=0 。

機率 P=1 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻
*

參閱

• 正則變換
• 么正性

外部連結
*[https://web.archive.org/web/20120207042727/http://cat.middlebury.edu/~chem/chemistry/class/physical/quantum/help/normalize/normalize.html Middlebury 大學講義：歸一化]

Normalizable wave function