希爾伯特-黃轉換（Hilbert-Huang Transform），由台灣中央研究院院士黃鍔（Norden E. Huang）等人提出，將欲分析数据分解為本質模態函數（intrinsic mode functions, IMF），這樣的分解流程稱為經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）的方法。然後將IMF作希爾伯特轉換（Hilbert Transform），正確地獲得資料的瞬時頻率。此方法處理對象乃針對非穩態與非線性訊號。與其他數學轉換運算（如傅立葉變換）不同，希爾伯特-黃轉換算是一種應用在數據資料上的演算法，而非理論工具。
本質模態函數（IMF）
任何一個資料，滿足下列兩個條件即可稱作本質模態函數（intrinsic mode function，IMF）。
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#局部極大值（local maxima）以及局部極小值(local minima)的數目之和必須與零交越點（zero crossing）的數目相等或是最多只能差1，也就是說一個極值後面必需馬上接一個零交越點。
#在任何時間點，局部最大值所定義的上包絡線（upper envelope）與局部極小值所定義的下包絡線，取平均要接近為零。
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因此，一個函數若屬於IMF，代表其波形局部對稱於零平均值。此類函數類似於弦波（sinusoid-like），但是這些類似於弦波的部分其週期與振幅可以不是固定。因為，可以直接使用希爾伯特轉換，求得有意義的瞬時頻率。
經驗模態分解(EMD)
建立IMF是為了滿足希爾伯特轉換對於瞬時頻率的限制條件之前置處理，也是一種轉換的過程。我們將IMF來做希爾伯特轉換可以得到較良好的特性，不幸的是大部分的資料並不是IMF，而是由許多弦波所合成的一個組合。如此一來，希爾伯特轉換並不能得到正確的瞬時頻率，我們便無法準確的分析資料。為了解決非線性（non-linear）與非穩態（non-stationary）資料在分解成IMF時所遇到的困難，便發展出EMD。
經驗模態分解是將訊號分解成IMF的組合。經驗模態分解是藉著不斷重覆的篩選程序來逐步找出IMF。
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以訊號s \left( t\right )為例，篩選程序的流程概述如下:
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步驟 1 : 找出s \left( t\right )中的所有局部極大值以及局部極小值，接著利用三次樣條(cubic spline)，分別將局部極大值串連成上包絡線與局部極小值串連成下包絡線。
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步驟 2 : 求出上下包絡線之平均，得到均值包絡線 m_1 \left( t\right )。
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步驟 3 : 原始信號s \left( t\right )與均值包絡線相減，得到第一個分量 h_1 \left( t\right )。
:::h_1(t) = s \left( t\right )- m_1 \left( t\right )
:
步驟 4 : 檢查 h_1 \left( t\right )是否符合IMF的條件。如果不符合，則回到步驟1並且將 h_1 \left( t\right )當作原始訊號，進行第二次的篩選。亦即
:::h_2(t) = h_1 \left( t\right )- m_2 \left( t\right )
重複篩選k次
:::h_k(t) = h_{k-1} \left( t\right )- m_k \left( t\right )
直到 h_k \left( t\right )符合IMF的條件，即得到第一個IMF分量 c_1 \left( t\right )，亦即
::: c_1 \left( t\right )=h_k \left( t\right )
步驟 5 : 原始訊號s \left( t\right )減去 c_1 \left( t\right )可得到剩餘量 r_1 \left( t\right )，表示如下式
:::r_1(t) = s \left( t\right )-c_1 \left( t\right )
步驟 6 : 將 r_1 \left( t\right )當作新的資料，重新執行步驟1至步驟5，得到新的剩餘量 r_2 \left( t\right )。如此重複n次
:
r_2(t) = r_1 \left( t\right )-c_2 \left( t\right )
:
r_3(t) = r_2 \left( t\right )-c_3 \left( t\right )
:.
:.
:.
r_n(t) = r_{n-1} \left( t\right )-c_n \left( t\right )
:
當第n個剩餘量r_n \left( t\right )已成為單調函數(monotonic function)，將無法再分解IMF時，整個EMD的分解過程完成。原始訊號s \left( t\right )可以表示成n個IMF分量與一個平均趨勢(mean trend)分量 r_n \left( t\right )的組合，亦即
:s(t)=\sum_{k=1}^n c_k(t) + r_n(t)
如此一來，原始資料便分解成n個IMF和一個趨勢函數，我們便可將IMF做希爾伯特轉換來進行瞬時頻率的分析。
停止準則(Stopping Criterion)
為了確保經驗模態分析法分解出的本質模態函數能夠保留瞬時頻率與瞬時振幅的物理意義，必須設定篩選的停止準則來決定篩選的次數，以避免次數過多，破壞其信號的物理性質。而大部分的判斷準則建立在振幅及能量的判斷上，以下將介紹幾種不同的停止準則。
標準差準則:利用連續兩次篩選結果的分量標準差 (Standard Deviation, SD) 作為停止準則如下式所示，一般當標準差小於0.2到0.3間時，即停止篩選動作。
SD = \sum_{t=0}^{T}{ \frac}
for j = 1,2,...,d.
常數 cd 是一個維度標準化的常數
:c_d = \frac{1}{\pi\omega_{d-1}} = \frac{\Gamma[(d+1)/2]}{\pi^{(d+1)/2}}.
Linderhed則使用真二維EMD來壓縮圖檔，相較於其他類型的壓縮方式，此方法能提供一個更低的失真率。
Song and Zhang [2001], Damerval et al. [2005] and Yuan et al. [2008] 則使用Delaunay triangulation來找尋圖形的上界以及下界。
依據需求決定極大值的定義以及不同的漸進方式的選擇，可以分別得到不同的效果。
希爾伯特譜分析 (Hilbert Spectral Analysis)
在經過經驗模態分解（EMD）將訊號分解為若干個本質模態函數（IMF）後，下一步便是對每一個 IMF 分量進行希爾伯特轉換（Hilbert Transform），以求得其瞬時頻率與瞬時振幅。這部分是 HHT 與傳統傅立葉分析最大的區別所在。
對於每一個 IMF 分量 c_j(t)，我們定義其希爾伯特轉換為： : H[c_j(t)] = \frac{1}{\pi} \text{P.V.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{c_j(\tau)}{t-\tau} d\tau 其中 P.V. 代表柯西主值（Cauchy Principal Value）。
利用希爾伯特轉換，我們可以建構出解析訊號（Analytic Signal）z_j(t)： : z_j(t) = c_j(t) + i H[c_j(t)] = a_j(t) e^{i\theta_j(t)}
其中，a_j(t) 為該分量的瞬時振幅（Instantaneous Amplitude），\theta_j(t) 為瞬時相位（Instantaneous Phase）： : a_j(t) = \sqrt{c_j^2(t) + H^2[c_j(t)]} : \theta_j(t) = \arctan \left( \frac{H[c_j(t)]}{c_j(t)} \right)
有了瞬時相位，我們可以定義具有物理意義的瞬時頻率（Instantaneous Frequency）： : \omega_j(t) = \frac{d\theta_j(t)}{dt}
這與傅立葉分析中定義的「頻率」有本質上的不同。傅立葉分析的頻率是定義在一段完整的時間區間內（全域性質），代表的是弦波的重複性；而 HHT 定義的瞬時頻率是相位的微分（局部性質），允許頻率隨著時間連續變化，這對於描述非線性系統（如頻率隨振幅變化的系統）至關重要。
將所有 IMF 分量的瞬時振幅與瞬時頻率結合，我們可以得到訊號在時頻平面上的能量分佈，稱為希爾伯特譜（Hilbert Spectrum），記為 H(\omega, t)： : H(\omega, t) = \text{Re} \sum_{j=1}^{n} a_j(t) e^{i \int \omega_j(t) dt}
此外，若將希爾伯特譜對時間積分，則可得到邊際譜（Marginal Spectrum），其物理意義類似於傅立葉頻譜，但更真實地反映了訊號在該頻率下的總能量累積： : h(\omega) = \int_{0}^{T} H(\omega, t) dt
與傳統時頻分析方法的比較
希爾伯特-黃轉換（HHT）的提出，主要是為了解決傳統時頻分析方法在處理「非線性」與「非平穩」訊號時的局限性。以下將 HHT 與常見的短時距傅立葉轉換（STFT）及小波轉換（Wavelet Transform）進行比較。
; 1. 基底函數（Basis Function）的本質差異
傅立葉與短時距傅立葉轉換 (STFT)： 使用固定的正弦波與餘弦波作為基底。這意味著它假設訊號是由一系列固定頻率、固定振幅的波疊加而成。對於 STFT，還需引入一個固定的視窗函數（Window Function），這強加了訊號在視窗內是平穩的假設。
小波轉換 (Wavelet)： 使用一系列由母小波（Mother Wavelet）經過縮放（Dilation）與平移（Translation）生成的函數作為基底。雖然小波能透過縮放來適應不同頻率，但母小波的形狀在分析前必須先選定（如 Morlet, Daubechies 等）。若選定的母小波形狀與被分析訊號的特徵不匹配，分析效果將大打折扣（例如用 Haar 小波去分析平滑訊號）。
希爾伯特-黃轉換 (HHT)： 完全沒有預設的基底函數。HHT 是一種「數據驅動（Data-driven）」的方法。其分解出的本質模態函數（IMF）是直接根據訊號本身的局部極值特徵（Local extrema）所決定的。這使得 HHT 特別適合處理非線性與非平穩訊號，因為它不需要強迫訊號去適應任何數學模型。
; 2. 頻率解析度與測不準原理
STFT： 受限於海森堡測不準原理（Heisenberg Uncertainty Principle）或 Gabor limit。若視窗選得窄，時間解析度好，但頻率解析度差；反之亦然。這是一個無法克服的物理限制，導致 STFT 的時頻圖往往呈現模糊的方塊狀。
Wavelet： 雖然實現了「多解析度分析」（Multi-resolution Analysis），在高頻處有較好的時間解析度，在低頻處有較好的頻率解析度，但其頻率解析度仍是離散的（Discrete），受限於尺度（Scale）的劃分。
HHT： 由於使用的是瞬時頻率（相位的微分），HHT 不受測不準原理的限制。在希爾伯特譜中，頻率的變化是連續的曲線，能夠呈現出極高的清晰度與精確度，這對於分辨極為接近的頻率成分（如機械故障中的調變邊帶）非常有效。
; 3. 對非線性訊號的處理能力
在處理達芬振子（Duffing Oscillator）等非線性系統產生的訊號時（頻率會隨振幅改變），傅立葉分析會產生大量無物理意義的「諧波（Harmonics）」來擬合波形變形。這些諧波雖然數學上正確，但物理上誤導了使用者認為系統包含多個頻率成分。
HHT 能將這類訊號視為單一成分的「頻率調變（Intra-wave frequency modulation）」，真實反映出系統頻率隨時間變化的物理本質，而非產生虛假的高頻諧波。
應用
由前述可知，希爾伯特-黃轉換與傳統的傅立葉轉換、小波轉換（wavelet）、短時間傅立葉轉換（short-time fourier transform, STFT）不同等建立在卷積（Convolution）上的訊號處理方式，希爾伯特-黃轉換是一套基於差值所建立出來的訊號處理模式，在大多數的情況下，運算量會遠小於上述基於旋積所延伸出來的訊號轉換方式。
由於本質上的差異，透過希爾伯特-黃轉換在各種應用上，皆有可能得到一種新的解讀方式與成果，因此希爾伯特-黃轉換被廣泛到運用到各個領域之中：
1.ECG的分析：
由於ECG再測量時，常會有基準線(baseline)的偏移，因此使用希爾伯特-黃轉換最後可以在EMD中，找到整體的趨勢線，將之屏棄之後就能得到基準線校準之後的ECG信號。
除此之外，ECG經過希爾伯特-黃轉換處理之後，可以有效的濾掉原本的高頻雜訊，使得相較於FFT之後的頻譜，相較於直接轉換的原訊號相比，在ECG相對應的峰值頻率能夠較為專一清楚。
2.太陽黑子的觀測： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)
太陽黑子是觀察太陽活動的一個重要依據，透過太陽黑子的觀測，人們可以得知太陽目前的活躍程度，由於太陽黑子的多寡大小等，皆為不穩定、非線性的訊號，因此對於傅立葉變換來說，
可能會因為Windows Function的性質差異，使得反映出來當下的資料有所誤差。而對於希爾伯特-黃轉換來說，並不會造成太大的影響，因此希爾伯特-黃轉換在太陽黑子的觀測上能有較佳的結果。
3.語音辨識：
由於每個人的音色、說話習慣是截然不同的，透過希爾伯特-黃轉換，能夠將各種不同頻率的泛音以及振幅有規律且有效的分離出來，對於語音辨識來說是非常好的轉換工具。同時，除了作為區分人與人之間身份的特性之外，希爾伯特-黃轉換之後的語音訊號，對於應用大量機器學習的語音相關技術來說，是一個分類清楚且特性明顯的訓練資料，能夠進一步用來發展語意辨識等需要依靠大量資料，才能建構出有效模型的技術。此類特性為傅立葉轉換難以比擬的。
4.建築結構的檢測：
希爾伯特-黃轉換能將訊號拆解成許多種子訊號，透過比對結構檢測產生的訊號，能清楚的找到異常的檢測訊號，並進一步找出建築結構有安全疑慮之處。
5.經濟數據的預測：
希爾伯特-黃轉換可以處理金融相關的趨勢，找到短期中期長期的相關趨勢。
例如在股票數據資料中先找到一條平滑的趨勢曲線以擬合經驗數據，再以與原數據的差值包含盡可能多的有意義的周期;而平滑曲線可呈現長期趨勢，差值則可進一步用於分析短期行為。
6.影像處理：
希爾伯特-黃轉換在改良EMD之後,在影像的融合與增強上，相較於原本的EMD快上一倍。
7.地震研究：
希爾伯特-黃轉換用來處理地震表面波的散射並比對經過傅立葉轉換後之後的地震信號，提供另一種角度研究並解析地震信號。
西元1999年時，台灣發生慘重的集集大地震，在事後比對由傅立葉轉換所產生的頻譜分析，發現在非靜態、非線性的的表面信號之中，因為傅立葉轉換本身線性的特性，使得低頻信號被嚴重低估，同時產生大力的高頻泛音。
由於地震訊號大多為非靜態、非線性的，這樣的特性透過希爾伯特-黃轉換分析，可能可以得到重大的分析成果，透過分離並保真原有信號，可以得知高頻訊號與低頻訊號可能發別來自於不同的區域，藉此研究地殼運動。
8.神經科學：
EEG運用希爾伯特-黃轉換之後，將之與TMS做比對，找尋腦部對於輸入信號的反應。
9.大氣科學：
由於大氣科學中，無論是氣流、降雨等，多半皆為間歇性的訊號，並不會是一個穩定的連續信號，不過透過頻寬較窄的IMF，使得最後得到的結果，可以呈現一個週期且有趨勢的變化。例如：曾經有研究運用希爾伯特-黃轉換以3至5年為週期分析後指出維吉尼亞（Virginia）的降雨與Southern Oscillation 指數的相關係數高達0.65。
10.衛星訊號
可用來分析非線性且不穩定的太空天氣數據(例如地球磁場的Kp指數、質子密度、電子密度、10.7 cm radio flux (RF)或X射線等等)，可以結合這些太空天氣的相關參數，進而避免SEU(Single Event Upset)甚至其餘ARO(Automatic Reconfiguration Order)事件的發生機率，也可使得衛星任務更為穩定。
總結以上，可以發現希爾伯特-黃轉換與傳統的頻譜分析有極大的差異，希爾伯特-黃轉換由於透過EMD來分析，使得其在預測趨勢、分類資料（頻率、時間）上，相較於傳統的基於傅立葉轉換所發展出來的信號技術，更能夠讓使用者從信號之中找到想要的趨勢，因此在各個不同領域之中，都能或多或少看到希爾伯特-黃轉換的應用。這些應用在傳統信號處理領域是較為少見的，不過由於希爾伯特-黃轉的建立方式的特性，使得他在統計上擁有極大的優點。
曲線選擇
由上述可知，經驗模態分解(EMD)是透過最大值重建訊號，並剔除之。因此，漸進的方式對於希爾伯特-黃轉換來說，是一個非常重要的選擇，不同的漸進選擇會影響到希爾伯特-黃轉換最後的結果。在大多數的情況之中，所選擇的大多都是貝茲曲線，其能夠有效產生出弦波，不過在某些極端例子中，例如脈衝波等，使用貝茲曲線作為希爾伯特-黃轉換的漸進方式，會使得得出來的結果變得平滑而喪失了脈衝波的特性。因此針對輸入信號選擇適當的漸進方式，對於希爾伯特-黃轉換是非常重要的課題。一般而言，越多階（order）的曲線會得到較佳的漸進效果，不過同時的也會增加計算量。
同時，倘若沒有設定結束遞回的條件，任意一個訊號最後是否都能製造出有限組IMF，換言之，IMF的疊加是否可以收斂成任意一個訊號，這個問題在經過證明之後，發現是一個NP問題。
特性與限制
希爾伯特-黃轉換作為一種創新的訊號處理工具，展現了許多優於傳統方法的特性，但也存在部分理論與實務上的挑戰。
主要優勢： 首先，其自適應性（Adaptivity）是最大亮點，分解過程完全取決於數據本身，不需要像小波轉換那樣預先嘗試各種基底函數。其次，HHT 賦予了瞬時頻率明確的物理意義，這突破了傅立葉頻譜只能描述「這段時間內平均有多少能量」的限制，使得研究人員能追蹤系統動態參數的演化路徑。最後，對於非線性與非平穩系統（如地震波、海洋內波、心律變異度等），HHT 往往能以最精簡的模態數量（IMF）還原訊號，避免了傅立葉級數收斂緩慢的問題。
當前限制與挑戰： 儘管應用廣泛，HHT 在數學理論的完備性上仍有發展空間。由於 EMD 是一個基於演算法的過程，目前尚未有完整的數學證明保證其分解的唯一性與收斂性。此外，端點效應（End Effects）仍是實務操作上的一大難題，雖然已有鏡像延伸等方法改善，但在資料極短時仍可能造成誤差傳遞。最後，模態混疊（Mode Mixing）現象，即一個 IMF 中包含差異極大的頻率尺度，或同一頻率尺度被分散到不同 IMF 中，雖然能透過 EEMD（總體經驗模態分解）加入白雜訊輔助來大幅改善，但這也增加了計算量與重建誤差的可能性。
結論
傅立葉變換是將一個訊號分解成無限多個弦波來分析資料，但是希爾伯特-黃轉換則是將一個訊號分解成數個近似於弦波的訊號（周期、振幅不固定）和一個趨勢函數來做分析。
兩者各有其優缺點，整理如下
優點：
1.避免複雜的數學運算
2.可分析頻率會隨時間變化的訊號
3.較適於分析氣候、經濟等具有趨勢的資料
4.可以找出一個函數的趨勢
缺點：
1.缺乏嚴謹的物理及數學上的意義
2.需要複雜的遞迴，運算時間反而比短時距傅立葉變換要長
3.希爾伯特轉換未必能正確計算出本質模態函數之瞬時頻率
4.無法使用快速傅立葉變換
5.只有在特例（組合較簡單的資料）時使用希爾伯特-黃轉換較快
傳統上認為希爾伯特-黃轉換是一套無用且精準度低的方式，同時在發展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到後續又許多改良方法之後，使得希爾伯特-黃轉換的缺點得到改善。同時其善於處理非靜態、非線性的特性使得希爾伯特-黃轉換提供了另外一套分析工具，彌補了傅立葉轉換先天上的系統限制。混合兩種方式之後，相較於單用一種方式的信號，能夠得到更多的資訊提供判讀及分析。
相關條目
- 希爾伯特轉換
- 包絡線
- 樣條
- 時頻分析
註釋
參考文獻
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外部連結
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*[https://web.archive.org/web/20191226215317/http://www.mydatademon.com/ HHT标准程序下載]
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