雙曲餘弦

在數學中，雙曲餘弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的餘弦函數相對應的函數。雙曲餘弦一般以cosh表示，在部分較舊的文獻中有時會以\mathfrak{Cos}表示。雙曲餘弦可以用來描述悬链线，即兩端固定自然下垂的繩索，因此可以用於進行悬索桥的工程計算。

定義
雙曲餘弦一般記為\cosh（有時會簡寫為\operatorname{ch}），其在複分析中定義為：
:\begin{matrix}\cosh:&\Complex&\to&\Complex\\&z&\mapsto&\displaystyle{\frac{ e^z+ e^{-z}}2}\end{matrix}
其中z\mapsto e^z是。
:]]

也就是說，雙曲餘弦可以視為指數函數與其倒數的算術平均數，即雙曲餘弦為自然指數函數的。

在雙曲幾何中，雙曲餘弦函數類似於歐幾里得幾何中的餘弦函數。一般的餘弦可以表示為單位圓上特定角的終邊正向與圓之交點的x座標；而雙曲餘弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角的終邊正向與單位雙曲線之交點的x座標。
對於非單位雙曲線的情形，如以下列形式定義的雙曲線：
:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
:
令P為雙曲角的終邊與雙曲線的交點，並令P'為點P在共軛雙曲線\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1上對應的點：
:P=\left(x_P,\,y_P\right)
:P'=\left(\frac{ay_P}{b},\,\frac{bx_P}{a}\right)
此時雙曲角\alpha可以透過交點P 、共軛點P'與原點構成的三角形（三角形OPP'）與雙曲扇形OAP的面積比來定義：
:\cosh x = \cosh\left( -x\right)

雙曲餘弦曲線下的面積（在有限區間內）總是等於該區間對應的弧長：
:\text{area} = \int_a^b \cosh x \,dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh x \right)^2} \,dx = \text{arc length.}
由歐拉公式 e^{i \theta}=\cos\theta + i \sin \theta和雙曲函數與指數函數的關聯 e^x = \cosh x + \sinh x能推出雙曲餘弦與餘弦的關係：
:\cos ix=\cosh x

特殊值
雙曲餘弦存在一些特殊值：

• \cosh(0)=1
• \cosh(1)=\frac{ e^2+1}{2 e}
• \cosh(i)=\cos(1)
• \cosh(\ln \varphi)=\frac{\sqrt{5}}{2}

其中\varphi為黃金比例、e為自然對數的底數。

根
函數的根代表函數值為0的點。雙曲餘弦函數的根可透過求解下列方程得到：
:\cosh x=0
在實數域中，雙曲餘弦的最小值為1，不與x軸相交，因此上述方程無實根：
:\cosh z=0\Leftrightarrow z\in i\pi\left(\Z+\frac12\right).
原因是，若將z表示成x+ iy，其中x,y皆為實數，則由\cosh z=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y有：
:\cosh z=0\Leftrightarrow\left(\cos y=0 \and \sinh x=0\right)\Leftrightarrow\left(y\in\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\Z\}\and x=0\right)
例如：其可以表示為：
:y = a\cosh \frac{x}{a}
其中，y為繩子的高度，繩子的最低點定為y軸（x=0）{{#tag:ref|Weisstein, Eric W. Catenary. MathWorld

建築學
是一個使用雙曲餘弦曲線設計的建築物]]
雙曲餘弦在建築學與工程學中一般用於計算懸索橋工程產生的懸鏈線。安东尼·高迪是最早將雙曲餘弦曲線融入建築設計的建築師之一，例如其作品聖家堂以及科洛尼亚桂尔教堂就有用到。

美國密蘇里州聖路易的聖路易斯拱門是一個倒過來的雙曲餘弦曲線外型的建築物。該拱門的最高點離地面約192公尺，其拱頂近似於以下方程：
:y=-39 \,\mathrm m \cosh \left( \frac x{39} \right) +231\,\mathrm m
其中\mathrm m表示單位為公尺，且x滿足-96 公尺。而具體的幾何結構由結構工程師提供給埃罗·萨里宁的數學方程確定。
:y = A \left( \cosh \frac {Cx}{L}-1 \right) \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac {L}{C} \cosh^{-1} \left( 1 + \frac {y}{A} \right),
其中，常量A為\frac {f_c} {\frac{Q_b}{Q_t} - 1} =\, 、常數C為\cosh^{-1} \frac {Q_b}{Q_t} = 3.0022；f_c=為質心的最高點、Q_b=為截面積的最大值（在拱底取到）、Q_t=為截面積的最小值（在拱頂取到）、L=質心位於拱底之寬度的一半。

參見
*餘弦

參考文獻