倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里叶变换，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。
倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：
*字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。
*數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m為實數）
*演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱
複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。
複數倒頻譜與實數倒頻譜
複數倒頻譜
\widehat {x}\left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}}\widehat {X}\left( F\right) e^{j {2 \pi }F}dF
其中\widehat {X}\left[ F\right] = \log |X(F)| + j \arg[X(F)]
可能遭遇的問題
- \log 0 = - \infty
- \arg[X[n]]有無限多的解
當輸入是實數時,因為\log |X(F)|偶對稱，\arg[X(F)]奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數
實數倒頻譜
C \left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}} \log |X(F)| e^{j {2 \pi }Fn}dF
可能遭遇的問題
- \log 0 = - \infty
應用
*倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震回音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。
*自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
*倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
*倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。
*倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑干擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。
*語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。
*倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
*倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。
倒頻譜觀念
頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。
倒濾波器
濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。
計算倒頻譜的方法
直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換)
\widehat {x}\left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}}\widehat {X}\left( F\right) e^{j {2 \pi }F}dF
問題: \widehat {X}\left( F\right) 可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解
利用Z轉換的零點與極點
先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式
X\left( Z \right)=\cfrac{A{Z^r}\prod_{k=1}^{m_i}(1-{a_k}{Z^{-1}})\prod_{k=1}^{m_0}(1-{b_k}Z)} {\prod_{k=1}^{P_i}(1-{c_k}{Z^{-1}})\prod_{k=1}^{P_0}(1-{d_k}Z)}
其中\left| a_{k}\right| , \left| b_{k}\right| , \left| c_{k}\right| , \left| d_{k}\right| \leq 1
分子:
第一項A是係數
第二項Z^r是延遲
第三項是位於單位圓內的零點
第四項是位於單位圓外的零點
分母:
第一項是位於單位圓內的極點
第二項是位於單位圓外的極點
對X\left( Z \right)取log變成\widehat {X}\left( Z\right)
\widehat {X}\left( Z\right)=log X\left( Z \right)=\log A + r \log Z + \sum_{k=1}^{m_i} \log (1-{a_k}{Z^{-1}}) + \sum_{k=1}^{m_0} \log (1-{b_k}Z)
- \sum_{k=1}^{P_i} \log (1-{c_k}{Z^{-1}}) - \sum_{k=1}^{P_0} \log (1-{d_k}Z)
假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形
根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換
\widehat {x}\left[n\right]=\begin{cases} \log A & \mbox{if }n=0 \\
- \sum_{k=1}^{m_i} \cfrac{{a_k}^n}{n} + \sum_{k=1}^{P_i} \cfrac{{c_k}^n}{n} & \mbox{if }n>0 \\
\sum_{k=1}^{m_0} \cfrac{{b_k}^{-n}}{n} - \sum_{k=1}^{P_0} \cfrac{{d_k}^{-n}}{n} & \mbox{if }n
注意事項
1.\widehat {x}\left[ n\right]總是IIR(無限脈衝響應)
2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況, c_k=0, d_k=0
利用Z轉換與微分
Z \cdot \widehat {X}'\left( Z\right)=Z \cdot \cfrac{{X}'\left( Z\right)}{{X}\left( Z\right)}
Z {X}'\left( Z\right) = Z \widehat {X}'\left( Z\right) \cdot {X}\left( Z\right)
對其做Z的反轉換
nx[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } k \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k]
故
x[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n \neq 0
分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸
1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. x[n]=\widehat {x}\left[ n\right]=0, n
對於x[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n \neq 0
可得出
x[n]= \sum_{k=0}^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n>0
故
x[n]= \widehat {x}\left[ n\right]x[0] + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k]
2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)
\widehat {x}\left[ n\right]=\begin{cases} 0 & \mbox{if }n0 \\
\log A & \mbox{if }n=0 \end{cases}
3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. x[n]=\widehat {x}\left[ n\right]=0, n>0
\begin{align}
x[n] & = \sum_{k=n}^{0} \cfrac{k}{n}\widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n
4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)
\widehat {x}\left[ n\right]= \begin{cases} 0 & \mbox{if }n>0 \\
\cfrac{x[n]}{x[0]} - \sum_{k=n+1}^{0} \cfrac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] \cfrac{x[n-k]}{x[0]} & \mbox{if }n
特性
- 複數倒頻譜至少以\frac{1}{n}的速度衰退
|\widehat {x}\left[ n\right]|=c |\frac{{\alpha}^n}{n}| \quad - \infty
其中 \alpha =max(a_k,b_k,c_k,d_k)
- 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則
\widehat {x}\left[ n\right]=0 \quad for \ all \ n
因為b_k,d_k=0
- 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則
\widehat {x}\left[ n\right]=0 \quad for \ all \ n>0
因為a_k,c_k=0
- 如果x[n]是有限長度, 則\widehat {x}\left[ n\right]是無限長度
同態解卷積的應用(Application of Homomorphic Deconvolution)
同態解卷積有非常多應用面，尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性
(1) 回聲的均衡化
:y[n]=x[n]+{\alpha} x[n-N_p]
:其中y[n]是接收到的訊號，x[n]是原始訊號，N_p是延遲的樣本數，{\alpha}是衰減係數
:令p[n]是脈衝響應，描述原始訊號與回聲訊號之間的關係
:p[n]={\delta}[n]+{\alpha}{\delta[n-N_p]}，其中{\delta}是單位脈衝函數
:y[n]=x[n]+{\alpha}x[n-N_p]=x[n]*p[n]
:系統函數 P(Z) = 1+{\alpha}Z^{-N_p}
:透過對系統函數進行對數轉換，簡化回聲成分的分析和處理
:{\hat{P}}(Z) = log(1+{\alpha}Z^{-N_p})={\sum_{k=1}^{\infty}}(-1)^{k+1}{\frac{\alpha^{k}}{k}}Z^{-kN_p}
:將{\hat{P}}(Z)轉換到時域
:{\hat{p}}[n]={\sum_{k=1}^{\infty}}(-1)^{k+1}{\frac{\alpha^{k}}{k}}{\delta}(n-k{\cdot}N_P)
(2) 聲學工程
:y[n]=x[n]*h[n]，其中y[n]是合成音樂，x[n]是原始音樂，h[n]是脈衝響應(例如建築物空間的影響)
(3) 語音分析
:透過在complex cepstrum domain中進行濾波，分離這些成分，使得對語音訊號的理解和處理更為精確。
:s[n]=g[n]v[n]p[n]，其中s[n]是語音波，g[n]是全局波形，v[n]是聲道脈衝，p[n]是音高，*是卷積
(4) 地震信號分析
(5) 任意波傳播的多路徑分析
梅爾頻率倒頻譜
梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:
#梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
#梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。
#梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。
#梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。
梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟：
#將信號做傅立葉變換
#頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
#對每個梅爾頻率取對數。
#作離散餘弦轉換。
#求得梅爾頻率倒頻譜係數。
梅爾頻率倒頻譜應用
*梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。
*利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。
雜訊敏感性
梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。
梅爾頻率倒頻譜優點
相較於原始的倒頻譜
*有絕對值平方
卷積
倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：
x_1 * x_2 \rightarrow x'_1 + x'_2
微分倒頻譜(differential cepstrum)
定義
\widehat {x}_d(n) = Z^{-1}\frac{X'(Z)}{X(Z)} 或 \widehat {x}_d[n] = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{X'(F)}{X(F)} e^{i2 \pi F}dF
(\frac{d}{dZ}\widehat {X}_d(Z) = \frac{d}{dZ}logX(Z) = \frac{X'(Z)}{X(Z)})
If x(n) = x_1(n)*x_2(n)
X(Z) = X_1(Z)X_2(Z)
X'(Z) = X_1'(Z)X_2(Z)+X_1(Z)X_2'(Z)
\frac{X'(Z)}{X(Z)} = \frac{X_1'(Z)}{X_1(Z)})+\frac{X_2'(Z)}{X_2(Z)})
\therefore \widehat {x}_d(n) = \widehat {x}_{1d}(n)+\widehat {x}_{2d}(n)
優點:
(a)沒有模糊的相位
(b)可以處理延遲問題
特性
(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。
ex: y[n] = AX[n-r]
\Rightarrow \widehat {y}_d(n) = \begin{cases} \widehat {x}_d(n),n \neq 1 \\
-r + \widehat {x}_d(1),n = 1 \end{cases}
(proof):
Y(z) = Az^{-r}X(z)
Y(z) = Az^{-r}X'(z)-rAz^{-r-1}X(z)
\frac{Y'(z)}{Y(z)} = \frac{X'(z)}{X(z)} - rz^{-1}
(2)複數倒頻譜\widehat {C}[n] 與 微分倒頻譜 \widehat {x}_d[n]和原訊號x[n]有關
\widehat {C}(n) = \frac{-\widehat {x}_d(n+1)}{n}, n \neq 0 diff cepstrum
-(n-1)x(n-1) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \widehat {x}_d(n)x(n-k) recursive formula
\Rightarrow複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到
(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則\widehat {x}_d[n]=0,當n \leq 0
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外
(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則\widehat {x}_d[n]=0,當n \geq 2
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內
(5)如果x(n)為有限區間,則 \widehat {x}_d[n]為無限區間
*複數倒頻譜的衰減率反比於n
*微分倒頻譜的衰減率下降
\therefore \widehat {x}_d(n+1) = n\widehat {c}(n) \varpropto n \frac{1}{n} = 1
範例
*x[0] = 1,x[1] = 0.5 ,otherwise 0 , Find its cepstrum.
x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad X(Z)\quad \stackrel{log}{\longrightarrow} \quad \widehat {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad \widehat {x}[n]
step 1. Z transform: X(Z) = 1+0.5Z^{-1},pole = -0.5
step 2. log: \widehat {X}(Z) = \sum_{k=1}^{m_i}log(1-(-0.5Z^{-1}))
step 3. reverse Z transform: \widehat {x}[n] = \sum_{n=0}^N -\frac{-0.5^n}{n},n>0
*\widehat x[0]=1 ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.
\widehat x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad \widehat X(Z)\quad \stackrel{exp}{\longrightarrow} \quad {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad {x}[n]
step 1. Z transform: \widehat X[n]=Z^{-1}
step 2. exp: e(\frac{1}{z}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\frac{1}{z^n}}{n!}
step 3. reverse Z transform: x[n] = \begin{cases} \frac{1}{n!},n \geq 0 \\
0, otherwise\\\end{cases}
*Suppose that an IIR filter is H(Z) = \frac{2z^3-4z^2-z+2}{2z^2-2z+1}
x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad X(Z)\quad \stackrel{log}{\longrightarrow} \quad \widehat {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad \widehat {x}[n]
step 1. Z transform: H(Z) = \frac{(-2) (z) (z-\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1}) (z+\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1}) (1-\frac{1}{2}z) }{(1-\frac{1+j}{2}z^{-1}) (1-\frac{1-j}{2}z^{-1})}
step 2. log: \widehat {H}(Z) = log(-2)+3log(z) + log(1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1})+log(1-\frac{1}{2}z)-log(1-\frac{1\pm j}{2}z^{-1})
step 3. reverse Z transform: \widehat {h}[n] = \begin{cases} log(-2),n= 0 \\
\displaystyle{-\frac{ {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^n + {(\frac{-\sqrt{2}}{2})}^n }{n} + \frac{ {(\frac{1+j}{2})}^n + {(\frac{1-j}{2})}^n }{n},n>0 }\\
\displaystyle{\frac{{(\frac{1}{2})}^{-n}}{n}},n
參考文獻
#B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
#D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1455016 The Cepstrum: A Guide to Processing]," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024
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