子集

子集（）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的超集或母集。子集与超集的关系被称为“包含”。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（\forall x\left( {x \in A \rightarrow x \in B}\right)，亦可写作\forall x \in A\left( {x \in B}\right)），则集合A称为集合B的子集，记为A \subseteq B或B \supseteq A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：\forall x \in A，有x \in B，则A \subseteq B。

若A和B为集合，且A的所有元素都是B的元素，则可表示為：

• A是B的子集（或称A包含于 B）；A\subseteq B
• B是A的超集／母集（或称B包含 A）；B\supseteq A

任何集合B皆是自身的子集（B\subseteq B）。而B的子集中不等于B的集合，称为真子集，若A是B的真子集，写作A\subsetneqq B。

定义
假设有A和B两个集合，如果A中的每个元素都在B中，则：

:*A是B的子集，记作A \subseteq B
:也可以说
:B是A*的超集，记作B \supseteq A

如果A是B的子集，但A不等于B（即B中至少存在一个元素不在A中），则：

:*A是B的真子集，记作A \subsetneqq B
:也可以说
:B是A*的真超集，记作B \supsetneqq A

符号
ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

• 如果用\subseteq表示子集关系（包含关系），那么用\subset表示真子集关系（真包含关系）。
• 如果用\subset表示子集关系（包含关系），那么用\subsetneqq表示真子集关系（真包含关系）。

举例

• 集合\left \{ 1,2 \right \}是集合\left \{ 1,2,3 \right \}的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合\{x:x是大于2000的素数\}是集合\{x:x是大于1000的奇数\}的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作\varnothing，是任意集合X的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质
命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若A,B,C是集合，则：

:自反性：
::*A\subseteq A

:反对称性：
::*若A\subseteq B且B\subseteq A，则A=B

:传递性：
::*若A\subseteq B且B\subseteq C，则A\subseteq C

这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若A,B,C是集合S的子集，则：

:存在一个最小元和一个最大元：
::*\varnothing\subseteq A\subseteq S（\varnothing\subseteq A由命題1給出）

:存在并运算：
::*A\subseteq A\cup B
::*若A\subseteq C且B\subseteq C，则A\cup B\subseteq C

:存在交运算：
::*A\cap B\subseteq A
::*若C\subseteq A且C\subseteq B，则C\subseteq A\cap B

命题4：对任意两个集合A和B，下列表述等价：

:*A\subseteq B
:*A\cap B=A
:*A\cup B=B
:*A-B=\varnothing
:*B'\subseteq A'

这个命题说明：表述"A\subseteq B"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻
参见

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。

Mul?ime#Submul?imi