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一元二次方程

Wikipedia · 2026-01-30 维基百科 👁 1 阅读

一元二次方程式是只含有一个未知數，并且未知數的最高次數是二次的多項式方程。

例如，x^2-3x+2= 2，\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0，t^2-3=0 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right)

其中，ax^2是二次项，bx是一次项，c是常数项。a \ne 0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，a \ne 0也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。

历史
古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

:**'

将其转化为数学语言：解关于x的方程 ax^2+bx=-c

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即4a，得　4a^2x^2+4abx=-4ac

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即b^2，得　4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2

然后在方程的两边同时开二次方根，得　2ax+b=\pm\sqrt{-4ac+b^2}

解法
阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般来说，一元二次方程有两个根。

因式分解法
把一个关于 x 一元二次方程变形成一般形式 ax^2+bx+c=0 后，如果 ax^2+bx+c=0 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0存在两个实根x_1,x_2，那么它可以因式分解为a(x-x_1)(x-x_2)=0。

例如，解一元二次方程x^2-3x+2=0时，可将原方程左边分解成\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0，所以x-1=0 \quad x-2=0，可解得x_1=1 \quad x_2=2
公式解法
对于ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)，若\Delta=\sqrt>0，则它的两个不等实数根可以表示为

x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}
；

若\Delta=\sqrt=0，则它的两个相等实数根可以表示为

x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}
；

若\Delta=\sqrt，则它的两个共轭复数根可以表示为

x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
。

公式解的证明
公式解可以由配方法得出。

已知关于 x 的一元二次方程 ax^2+bx+c=0,\,\, a\ne 0

①移项，得：

ax^2+bx=-c；

②二次项系数化为 1，得：

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}；

③配方，得：

x^2+\frac{b}{a}x+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=-\frac{c}{a}+\biggl(\frac{b}{2a}\biggl)^{2}，

\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggl)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}；

因为 a\ne 0，所以

若\Delta=\sqrt>0，则它的两个不等实数根可以表示为

x_{1}=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a},\, x_{2}=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}
；

若\Delta=\sqrt=0，则它的两个相等实数根可以表示为

x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}
；

若\Delta=\sqrt，则它的两个共轭复数根可以表示为

x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
。

一般化
一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

公式中的根式\sqrt{b^2-4ac}應該理解為「如果存在的話，自乘後為b^2 - 4ac 之兩數中的任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。

根的判别式
对于实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0 \left( a\ne0 \right) ，\Delta=b^2-4ac 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

  • 如果\Delta>0，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且\Delta是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。
  • 如果\Delta=0，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}
  • 如果\Delta，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为

x_{1}=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i},\,\, x_{2}=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}\text{i}
，其中 \text{i}=\sqrt{-1}。

非实系数一元二次方程
即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

一元二次方程的根与系数的关系
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

图像解法
一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax^2+bx+c的图像（为一条抛物线）与 x 轴交点的坐标，即二次函数的零点。

另外一种解法是把一元二次方程ax^2+bx+c=0化为x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a} 的形式。

则方程ax^2+bx+c=0的根，就是函数y=x^2和y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}交点的横坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法
在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解
x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}
可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)

参见

  • 方程
  • 三次方程
  • 和平方
  • 差平方
  • 平方差
  • 配方法
  • 二次無理數

参考资料
外部連結

#方程 #初等代数

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