。紅色長球面的 \mu=1 。藍色半個雙葉雙曲面的 \nu=45^{\circ} 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ} （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right| ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182) 。]]
長球面坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F_{1} 與 F_{2} 的直角坐標分別為 (0,\ 0,\ - a) 與 (0,\ 0,\ a) 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。
基本定義
在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 (\mu,\ \nu,\ \phi) 常見的定義是
:x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi 、
:y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi 、
:z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu ；
其中，\mu\ge 0 是個實數，弧度 0 \le \nu \le \pi ，弧度 0 \le \phi \le 2\pi 。
坐標曲面
\mu 坐標曲面是長球面：
:\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a\sinh\mu ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\cosh\mu 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a 。
\nu 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：
:\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1 。
當 \nu 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \nu>\pi/2 時，坐標曲面在 xy-平面以下。
\phi 坐標曲面是個半平面 ：
:x\sin\phi - y\cos\phi=0 。
標度因子
長球面坐標 \mu 與 \nu 的標度因子相等：
:h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu} 。
方位角 \phi 的標度因子為
:h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu 。
無窮小體積元素是
:dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi 。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)}
\left[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} +
\coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} +
\cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}
\right] +
\frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
應用
當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 H_2^+ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 (\mu=0) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 (\nu=0) 產生的電場。
第二種表述
。紅色長球面的 \sigma=1.54 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 \tau=0.71 坐標曲面 。黃色半平面的 \phi=-60^{\circ} 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 \left|\phi\right| ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 (0.831,\ - 1.439,\ 2.182) 。]]
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 (\sigma,\ \tau,\ \phi) ：
:\sigma=\cosh\mu 、
:\tau=\cos \nu 、
:\phi=\phi 。
其中，\sigma\ge 1 是個實數，1\ge \tau\ge - 1 是個實數，弧度 0 \le \phi \le 2\pi 。
與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:
:x = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi 、
:y = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi 、
:z = a\ \sigma\ \tau 。
坐標曲面
\sigma 坐標曲面是長球面：
:\frac{z^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(\sigma^{2} - 1)}=1 。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a \sqrt{\sigma^2 - 1} ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a\sigma 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 \pm a 。
\tau 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：
:\frac{z^{2}}{a^{2}\tau^2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}(1 - \tau^2)}=1 。
當 \tau>0 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 \tau 時，坐標曲面在 xy-平面以下。
\phi 坐標曲面是個半平面 ：
:x\sin\phi - y\cos\phi=0 。
任何一點 P 與焦點 F_{1} ，F_{2} 的距離 d_1 ，d_2 ，可以一個很簡單的公式表示：
:d_{1}+d_{2} = 2a\sigma 、
:d_{1} - d_{2}= 2a\tau 。
所以，點 P 與焦點 F_{1} 的距離 d_1 是 a(\sigma+\tau) ，點 P 與焦點 F_{2} 的距離 d_2 是 a(\sigma - \tau) 。（回想 F_{1} ，F_{2} 都是在 z-軸，分別位於 z= - a ，z=+a 。）
標度因子
第二種長球面坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 的標度因子分別為:
:h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}} 、
:h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}} 、
:h_{\phi} = a \sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} 。
無窮小體積元素是
:dV = a^{3} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi 。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[
\left( \sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
- \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\mu,\ \nu,\ \phi) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
應用
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。
參閱
參考目錄
不按照命名常規
- 採用 \xi_1=a\cosh\mu 、\xi_2=\sin\nu 、\xi_3=\cos\phi 。
- 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 u_k 來替代 \xi_k 。
*
- 採用混合坐標 \xi=\cosh\mu 、\eta=\sin\nu 、\phi=\phi 。
按照命名常規
- 採用第一種表述 (\mu,\ \nu,\ \phi) ，又加介紹了簡併的第三種表述 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 。
- 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 \theta=90^{\circ} - \nu 來替代緯度 \nu 。
- Moon and Spencer 採用餘緯度常規 \theta=90^{\circ} - \nu ，又改名 \phi 為 \psi 。
特異命名常規
- 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。
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