。紅色扁球面的\mu=1。藍色半雙曲面的\nu=45^{\circ}。黃色半平面的\phi= - 60^{\circ}（黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是 - 60^{\circ}）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑色的圓球表示），直角坐標大約為(1.09,\ - 1.89,\ 1.66)。]]
扁球面坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點F_{1}與F_{2}的直角坐標分別為( - a,\ 0,\ 0)與(a,\ 0,\ 0)。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為a的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。
當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。
第一種表述
在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標(\mu,\ \nu,\ \phi)常見的定義是
:x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi、
:y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi、
:z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu。
其中，\mu\ge 0是個實數，角度 - 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ}，角度 - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}。
學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。
坐標曲面
\mu坐標曲面是扁球面 ：
:\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1。
它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為a\cosh\mu，沿著z-軸，短半軸長度為a\sinh\mu。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為\pm a。
\nu坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：
:\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1。
假若\nu是正值，z也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。\nu是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為\pm a。
\phi坐標曲面是個半平面 ：
:x\sin\phi - y\cos\phi=0。
逆變換
用直角坐標(x,\ y,\ z)來計算扁球面坐標(\mu,\ \nu,\ \phi)，方位角\phi的公式為
:\tan \phi = \frac{y}{x}。
設定d_1與d_2分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為
:d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}、
:d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}。
坐標\mu和\nu的方程式分別為
:\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}、
:\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}。
標度因子
扁球面坐標\mu與\nu的標度因子相等：
:h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}。
方位角\phi的標度因子為
:h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu。
無窮小體積元素是
:dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi。
拉普拉斯算子是
:\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)}
\left[
\frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu}
\left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) +
\frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu}
\left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right)
\right] +
\frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
。
其它微分算子，像\nabla \cdot \mathbf{F}、\nabla \times \mathbf{F}，都可以用(\mu,\ \nu,\ \phi)坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
第二種表述
另外有一組有時會用到的扁球面坐標(\zeta,\ \xi,\ \phi)；其中，\zeta = \sinh \mu，\xi = \sin \nu。\zeta坐標曲面是個扁球面，\xi坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：
:x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi、
:y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi、
:z = a \zeta \xi。
其中，實數0 \le \zeta ，實數-1 \le \xi ，角度 - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}。
標度因子
扁球面坐標(\zeta,\ \xi,\ \phi)的標度因子分別為：
:h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}、
:h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}、
:h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}。
無窮小體積元素是
:dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} V =
\frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \zeta} \left[
\left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \xi} \left[
\left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi}
\right]
\right\}
- \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)}
\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}
。
第三種表述
。紅色扁球面是\sigma坐標曲面。藍色單葉雙曲面是\tau坐標曲面。黃色半平面是\phi坐標曲面 （黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是\phi）。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1，P2 （以黑色的圓球表示）觀察到。]]
另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系(\sigma,\ \tau,\ \phi) ：
:\sigma=\cosh\mu、
:\tau=\cos \nu、
:\phi=\phi。
坐標\sigma必須大於或等於1。坐標\tau必須在正負1之間。\sigma坐標曲面是扁球面。\tau坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負\nu的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標(x,\ y,\ \pm z)映射至一組扁球面坐標系(\sigma,\ \tau,\ \phi)）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：
:x = a\sigma\tau \cos \phi、
:y = a\sigma\tau \sin \phi、
:z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)。
坐標\sigma與\tau有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d_1，最近距離d_2：
:d_{1}+d_{2} = 2a\sigma、
:d_{1} - d_{2}= 2a\tau。
所以，點P與焦圓的最遠距離是a(\sigma+\tau)，點P與焦圓的最近距離是a(\sigma - \tau)。
坐標曲面
\sigma坐標曲面是扁球面 ：
:\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2} - 1\right)} = 1。
\tau坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：
:\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1。
\phi坐標曲面是半個平面 ：
:x\sin\phi - y\cos\phi=0。
標度因子
扁球面坐標(\sigma,\ \tau,\ \phi)的標度因子分別為：
:h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}、
:h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}、
:h_{\phi}=a \sigma \tau。
無窮小體積元素是
:dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[
\left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] +
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
- \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
。
其它微分算子，像\nabla \cdot \mathbf{F}、\nabla \times \mathbf{F}，都可以用(\sigma,\ \tau,\ z)坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。
參閱
參考文獻
參考目錄
不按照命名常規
- 採用\xi_1=a\sinh\mu、\xi_2=\sin\nu、\xi_3=\cos\phi。
- 如同Morse & Feshbach (1953)，採用u_k來替代\xi_k。
*
- 採用混合坐標\xi=a\sinh\mu、\eta=\sin\nu、\phi=\phi。
按照命名常規
- 採用第一種表述(\mu,\ \nu,\ \phi)，又加介紹了簡併的第三種表述(\sigma,\ \tau,\ \phi) 。
- 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度\theta=90^{\circ} - \nu來替代緯度\nu。
- Moon and Spencer採用餘緯度常規\theta=90^{\circ} - \nu，又改名\phi為\psi。
特異命名常規
- 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。
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