橢球坐標系（）是一種三維正交坐標系，是橢圓坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，橢球坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。
基本公式
橢球坐標 (\lambda,\ \mu,\ \nu) 以直角坐標 (x,\ y,\ z) 定義為：
:x^{2} =\frac{(a^{2}+\lambda) (a^{2}+\mu)( a^{2}+\nu)}{(a^{2} - b^{2}) (a^{2} - c^{2})} 、
:y^{2} = \frac{( b^{2} + \lambda)( b^{2} + \mu)( b^{2} + \nu )}{( b^{2} - a^{2})( b^{2} - c^{2})} 、
:z^{2} = \frac{( c^{2} + \lambda)( c^{2} + \mu)( c^{2} + \nu)}{( c^{2} - b^{2} ) ( c^{2} - a^{2})} ；
其中，橢球坐標遵守以下限制：
:- \lambda 。
坐標曲面
\lambda-坐標曲面是橢球面 ：
:\frac{x^{2}}{a^{2} + \lambda} + \frac{y^{2}}{b^{2} + \lambda} + \frac{z^{2}}{c^{2} + \lambda} = 1 。
\mu-坐標曲面是單葉雙曲面 () ：
:\frac{x^{2}}{a^{2} + \mu} + \frac{y^{2}}{b^{2} + \mu} + \frac{z^{2}}{c^{2} + \mu} = 1 。
\nu-坐標曲面是双葉雙曲面 () ：
:\frac{x^{2}}{a^{2} + \nu} + \frac{y^{2}}{b^{2} + \nu} + \frac{z^{2}}{c^{2} + \nu} = 1 。
標度因子
為了簡化標度因子的計算，設定函數
:S(\sigma) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ ( a^{2} + \sigma)( b^{2} + \sigma ) ( c^{2} + \sigma) ；
其中，參數 \sigma 可以代表任何一個橢球坐標 (\lambda,\ \mu,\ \nu) 。
橢球坐標的標度因子分別為
:h_{\lambda} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{( \lambda - \mu)( \lambda - \nu)}{S(\lambda)}} 、
:h_{\mu} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{( \mu - \lambda)( \mu - \nu)}{S(\mu)}} 、
:h_{\nu} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{( \nu - \lambda)( \nu - \mu)}{S(\nu)}} 。
無窮小體積元素等於
:dV = \frac{( \lambda - \mu)( \lambda - \nu)( \mu - \nu)}{8\sqrt{-S(\lambda) S(\mu) S(\nu)}} \ d\lambda d\mu d\nu 。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} \Phi =
\frac{4\sqrt{S(\lambda)}}{\left( \lambda - \mu \right) \left( \lambda - \nu\right)}
\frac{\partial}{\partial \lambda} \left[ \sqrt{S(\lambda)} \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} \right] \ + \ \frac{4\sqrt{S(\mu)}}{\left( \mu - \lambda \right) \left( \mu - \nu\right)}
\frac{\partial}{\partial \mu} \left[ \sqrt{S(\mu)} \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right]
:::
- \ \frac{4\sqrt{S(\nu)}}{\left( \nu - \lambda \right) \left( \nu - \mu\right)}
\frac{\partial}{\partial \nu} \left[ \sqrt{S(\nu)} \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right]
。
其它微分算子，例如 \nabla \cdot \mathbf{F} 與 \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。
參閱
*橢球
*類球面
參考目錄
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