雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標系（）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F_{1} 與 F_{2} ，其直角坐標 (x,\ y) 分別設定為 ( - a,\ 0) 與 (a,\ 0) 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，L_{1} 與 L_{2} ，稱為焦線。

基本定義
雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) 通常定義為
:x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} 、
:y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} 、
:z = z ；

其中，點 P 的 \sigma 坐標等於 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度，\tau 坐標等於 d_1=F_1 P 與 d_2=F_2 P 的比例的自然對數
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}。

注意到焦線 F_1 與 F_2 的坐標分別為 x= - a 與 x=a 。

坐標曲面
是 \tau 。\sigma 與 \tau 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。]]
不同 \sigma 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 L_1 與 L_2 的圓柱面：
:x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma} 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 \sigma 的圓柱面的圓心線都在 y>0 半空間；而負值 \sigma 的圓柱面的圓心線則在 y 半空間。當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。

不同 \tau 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為
:y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau} 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 \tau 的圓柱面在 x>0 半空間；而負值 \tau 的圓柱面在 x 半空間。 \tau=0 平面則與 yz-平面同平面。當 \tau 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換
雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
:d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2} 、
:d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} 。

\tau 是 d_{1} 與 d_{2} 的比例的自然對數：
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}} 。

\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P} 與 \overline{F_2 P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算：
:\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2} 。

z-坐標的公式不變：
:z=z 。

標度因子
雙極圓柱坐標 \sigma 與 \tau 的標度因子相等；而 z 的標度因子是 1 ：
:h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma} 、
:h_{z}=1 。

所以，無窮小體積元素等於
:dV = \frac{a^{2}}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}} d\sigma d\tau dz
。

拉普拉斯算子是
:\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2}} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}
\left(
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}}
\right) +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}} 。

其它微分算子，例如 \nabla \cdot \mathbf{F} 與 \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用
雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱
參考文獻
*
*
*