。紅色環面的 \sigma=45^{\circ} 。藍色圓球面的 \tau=0.5 。黃色半平面的 \phi=60^{\circ} 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.841,\ -1.456,\ 1.239) 。]]
雙球坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 F_{1} 與 F_{2} 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 \sigma 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。
基本定義
在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 最常見的定義是
:x = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi 、
:y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi 、
:z = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} ；
其中，(x,\ y,\ z) 是直角坐標，\sigma 坐標是 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度，\tau 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d_{1} 與 d_{2} 的比例的自然對數：
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}} 。
坐標曲面
每一個紅色的 \sigma-坐標曲面都是包含了兩個焦點 F_1 與 F_2 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
:z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \cot \sigma \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sin^{2} \sigma} 。
當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。
每一個藍色的 \tau-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
:x^{2} + y^{2}+( z - a \coth \tau)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau} 。
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 \tau 的圓球面在 z>0 半空間；而負值 \tau 的圓球面在 z 半空間。\tau=0 曲線則與 xy-平面同平面。當 \tau 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。
逆變換
。\sigma 與 \tau 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。]]
雙球坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。方位角 \phi 的公式為
:\tan \phi = \frac{y}{x} 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是
:d_{1}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z + a)^{2} 、
:d_{2}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2} 。
\tau 是 d_{1} 與 d_{2} 的比例的自然對數：
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}} 。
如圖 3 ，\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算：
:\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2} 。
標度因子
雙球坐標 \sigma 與 \tau 的標度因子相等：
:h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma} 。
方位角的標度因子為
:h_{\phi} = \frac{a \sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma} 。
無窮小體積元素是
:dV = \frac{a^{3}\sin \sigma}{( \cosh \tau - \cos\sigma)^{3}} d\sigma d\tau d\phi 。
拉普拉斯算子是
:\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma}
\left[
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) +
\sin \sigma \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) +
\frac{1}{\sin \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right] 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\sigma,\ \tau,\ z) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
應用
雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。
參閱
參考目錄
*
*
*
*
评论 (0)