。紅色圓球面的 \sigma=30^{\circ} 。藍色環面的 \tau=0.5 。黃色半平面的 \phi=60^{\circ} 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 (0.996,\ - 1.725,\ 1.911) 。]]
圓環坐標系（）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F_{1} 與 F_{2} 的直角坐標分別為 ( - a,\ 0,\ 0) 與 (a,\ 0,\ 0) 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 a 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。
數學定義
在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 最常見的定義是
:x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi 、
:y = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi 、
:z = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} ；
其中，(x,\ y,\ z) 是直角坐標，\sigma 坐標是 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度，\tau 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d_{1} 與 d_{2} 的比例的自然對數：
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}} 。
圓環坐標的值域為 - \pi ，\tau\ge 0 ， 0\le\phi 。
坐標曲面
每一個 \sigma-坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為
:x^2+y^2+(z - a\cot\sigma)^2=\frac{a^2}{\sin^2\sigma} 。
正值 \sigma 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 \sigma 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2 。
每一個 \tau-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為
:z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau} 。
\tau=0 曲線與 z-軸同軸。當 \tau 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。
逆變換
是 \tau 。\sigma 與 \tau 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。]]
\tau 是 d_{1} 與 d_{2} 的比例的自然對數：
:\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}} 。
圓環坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表達。方位角 \phi 的公式為
:\tan \phi = \frac{y}{x} 。
點 P 與兩個焦點之間的距離是
:d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + a)^{2} + z^{2} 、
:d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a)^{2} + z^{2} 。
如圖 3 ，\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P} 與 \overline{F_2 P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算：
:\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2} 。
標度因子
圓環坐標 \sigma 與 \tau 的標度因子相等：
:h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma} 。
方位角的標度因子為
:h_{\phi} = \frac{a \sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma} 。
無窮小體積元素是
:dV = \frac{a^{3}\sinh \tau}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}} d\sigma d\tau d\phi 。
拉普拉斯算子是
:
\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau}
\left[
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) +
\frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) +
\frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]
。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} 、\nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\sigma,\ \tau,\ z) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
應用
圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。
由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。
參閱
*國際熱核聚變實驗反應堆
參考文獻
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參考目錄
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