在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_n)，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標q_i的等值曲面，即q_i為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標(x,\ y,\ z)是一種正交坐標系，它的x為常數，y為常數，z為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。
动机
正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子H_2\,^- 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的n維問題變為n個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离。
概述
作用于矩形网格。注意，弯曲的网格的正交性被保留。]]
正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方ds^2，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：
:ds^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left( h_{i} dq_{i} \right)^{2}；
其中，n是維數，標度因子h_i是度規張量的對角元素g_{ii}的平方根：
:h_{i}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{ii}(\mathbf{q})}
。
這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。
在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系(x,\ y)的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數z=x+iy的任何全純函數w=f(z)，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為w=u+iv，則u與v的等值曲線以直角相交，就如同原本的x與y的等值曲線以直角相交。
三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的而得到。
向量代数
在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：
:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_{i} B_{i}。
向量微積分
從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標q_{i}的無窮小改變dq_{i}，其相伴的長度是ds_{i} = h_{i} dq_{i}。因此，一個位移向量的全微分d\mathbf{r}等於
:d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{n} h_{i} dq_{i} \mathbf{e}_{i}；
其中，\mathbf{e}_{i}是垂直於q_{i}等值曲面的單位向量，指向著q_{i}增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。
因此，向量\mathbf{F}沿著周線\mathbb{C}的線積分等於
:\int_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =
\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{C}} F_{i} h_{i} dq_{i}；
其中，F_{i}是向量\mathbf{F}在單位向量\mathbf{e}_{i}方向的分量：
:F_{i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{F}
。
類似地，一個無窮小面積元素是
:dA = ds_{i} ds_{j} = h_{i} h_{j} dq_{i} dq_{j},\qquad i\neq j，
一個無窮小體積元素是
:dV = ds_{i} ds_{j} ds_{k} = h_{i} h_{j} h_{k} dq_{i} dq_{j} dq_{k},\qquad i \neq j \neq k。
例如，向量\mathbf{F}對於一個曲面\mathbb{S}的曲面積分是
:\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_{1} h_{2} h_{3} dq_{2} dq_{3} +
\int_{\mathbb{S}} F_{2} h_{3} h_{1} dq_{3} dq_{1} +
\int_{\mathbb{S}} F_{3} h_{1} h_{2} dq_{1} dq_{2}。
球坐標系實例
直角坐標(x,\ y,\ z)與球坐標(r,\ \theta, \phi)的變換方程式為
:x=r\sin\theta\cos\phi、
:y=r\sin\theta\sin\phi、
:z=r\cos\theta。
直角坐標的全微分是
:dx=\sin\theta\cos\phi dr+r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi、
:dy=\sin\theta\sin\phi dr+r\cos\theta\sin\phi d\theta+r\sin\theta\cos\phi d\phi、
:dz=\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta。
所以，無窮小距離的平方是
:\begin{align}ds^{2} & = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2} \\
& =dr^{2}+(rd\theta)^{2}+(r\sin\theta d\phi)^{2} \\\end{align} 。
標度因子是
:h_r=1、
:h_{\theta}=r、
:h_{\phi}=r\sin\theta。
向量\mathbf{F}沿著周線\mathbb{C}的線積分等於
:\int_{\mathbb{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\mathbb{C}}F_{r}\ dr+F_{\theta}\ rd\theta+F_{\phi}\ r\sin\theta d\phi。
向量\mathbf{F}對於一個曲面\mathbb{S}的曲面積分是
:\int_{\mathbb{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} =
\int_{\mathbb{S}} F_r\ r^2\sin\theta d\theta d\phi+
\int_{\mathbb{S}} F_{\theta}\ r\sin\theta dr d\phi +
\int_{\mathbb{S}} F_{\phi}\ r dr d\theta。
三維微分算子
上面表达式可以使用列維-奇維塔符號\epsilon的更简洁形式书写，定义H = h_1 h_2 h_3，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:
二维正交坐标系表格
三维正交坐标系表格
除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。
微分算子导引
梯度導引
一個函數\phi的梯度朝某個方向\hat{\mathbf{n}}的分量，等於方向導數 \frac{d\phi}{ds}朝\hat{\mathbf{n}}方向的值：
:\nabla \Phi \cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{d\phi}{ds}；
其中，ds是朝\hat{\mathbf{n}}方向的無窮小位移。
假若，這\hat{\mathbf{n}}與正交坐標軸\hat{\mathbf{e}}_i同方向。那麼，ds=h_i dq_i。所以，函數\phi的梯度朝\hat{\mathbf{e}}_i的分量是\frac{\partial \phi}{h_i \partial q_i}；也就是說，
:\nabla \Phi = \hat{\mathbf{e}}_{1}\frac{1}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\hat{\mathbf{e}}_{2}\frac{1}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{1}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}。
散度導引
:\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)。
取右手邊第一個項目，
:\nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1)= \nabla \cdot \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\left(h_2 h_3 F_1\right)\right]。
應用向量恆等式\nabla \cdot (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\nabla\phi)與\nabla \cdot (\nabla\phi_1 \times \nabla\phi_2)=0，可以得到
:\begin{align} \nabla \cdot (\hat{\mathbf{e}}_1F_1) & =(h_2 h_3 F_1)\nabla \cdot\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)+\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
& =(h_2 h_3 F_1)\nabla\cdot[(\nabla q_2)\times\nabla(q_3)] +\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
& =\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_2 h_3}\right)\cdot \nabla(h_2 h_3 F_1) \\
& =\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3) \\
\end{align} 。
總合所有項目，
:\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1 h_2 h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2 h_3 h_1) +
\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3 h_1 h_2) \right]。
旋度導引
:\nabla \times \mathbf{F}=\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1+\hat{\mathbf{e}}_{2}F_2+\hat{\mathbf{e}}_{3}F_3)。
取右手邊第一個項目，
:\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\nabla \times \left[\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\left(h_1 F_1\right)\right]。
應用向量恆等式\nabla \times (\mathbf{A}\phi)=\phi\nabla\times\mathbf{A} - \mathbf{A}\times(\nabla\phi)，
:\begin{align} \nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1) & =(h_1 F_1)\nabla\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\nabla(h_1 F_1) \\
& =(h_1 F_1)\nabla\times(\nabla q_1) - \left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_1}{h_1}\right)\times\left(\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1) +
\frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1)\right) \\
\end{align}。
應用向量恆等式\nabla \times (\nabla\phi)=0，
:\nabla \times (\hat{\mathbf{e}}_{1}F_1)=\frac{\hat{\mathbf{e}}_{2}}{h_1 h_{3}} \frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_1 F_1) - \frac{\hat{\mathbf{e}}_{3}}{h_1 h_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_1 F_1)。
總合所有項目，
:\begin{align}\nabla \times \mathbf{F} & =\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}}
\left[\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) -
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)\right] +
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}}
\left[\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) -
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)\right] \\
& +\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}}
\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) -
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)\right] \\ \end{align} 。
拉普拉斯算子
:\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]
。
引用
参见
*坐标系
*
*斜交坐标系（度規張量有非對角項目）
*在圆柱和球坐标系中的del
參考文獻
- Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
- Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
- Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。
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