在相對論裏，四維向量（）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。
本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。
數學性質
在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） {x}^{\mu}=({x}^0,\, {x}^1,\, {x}^2,\, {x}^3) 來表示；其中，上標 \mu=0,\,1,\,2,\,3 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為
:{x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (ct,\, x,\, y,\, z) ；
其中，c 是光速，t 是時間，(x,\, y,\, z) 是位置的三維直角坐標。
為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 {x}^0\ \stackrel{def}{=}\ ct 。
「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 \Delta {x}^{\mu} 表示為
: \Delta {x}^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z) 。
帶有上標的四維向量 {U}^{\mu} 稱為反變矢量，其分量標記為
:{U}^{\mu}=\ ({U}^0,\, {U}^1,\, {U}^2,\, {U}^3) 。
假若，標號是下標，則稱四維向量 {U}_{\mu} 為協變矢量。其分量標記為
:{U}_{\mu}=\ ({U}_0,\, {U}_1,\, {U}_2,\, {U}_3)=\ ({U}^0,\, - {U}^1,\, - {U}^2,\, - {U}^3) 。
在這裡，閔考斯基度規 \eta_{\mu\nu} 被設定為
:\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right) 。
採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為
:U_{\mu} =\eta_{\mu \nu} U^{\nu} 。
閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 \eta^{\mu\nu} 相等：
:\eta^{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}\right) 。
勞侖茲變換
給予兩個慣性參考系 \mathcal{S}、 \bar{\mathcal{S}} ；相對於參考系 \mathcal{S}，參考系 \bar{\mathcal{S}} 以速度 \mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}} 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 \Lambda^\mu {}_\nu 是
:\Lambda^\mu {}_\nu=\ \left(\begin{matrix} \gamma & - \gamma\beta & 0 & 0 \\ - \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) ；
其中，\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} 是勞侖茲因子，\beta=\frac{v}{c}是「貝塔因子」。
對於這兩個參考系 \mathcal{S}、 \bar{\mathcal{S}} ，假設一個事件的四維坐標分別為 {x}^{\mu}、 \bar{x}^{\mu} 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為
:\bar{x}^{\mu}=\Lambda^\mu {}_\nu\ x^{\nu} 、
:x^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{x}^{\nu} ；
其中，\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu} 是 \Lambda^{\mu} {}_{\nu} 的反矩阵，
:\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\ \left(\begin{matrix} \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) 。
將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到
:\bar{x}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ x^{\nu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}\ \bar{x}^{\xi} 。
因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：
:\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{\Lambda}^{\nu} {}_{\xi}=\delta^{\mu} {}_{\xi} ；
其中，\delta^{\mu} {}_{\xi} 是克羅內克函數。
另外一個很有用的特性為
:\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}=\eta_{\alpha\nu}\ \eta^{\beta\mu}\ \Lambda^{\alpha} {}_{\beta} ；
給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 \mathcal{S}、 \bar{\mathcal{S}}，具有這種有用性質的四維向量 {U}^{\mu} 、\bar{U}^{\mu} 滿足
:\bar{U}^{\mu}=\Lambda^{\mu} {}_{\nu}\ U^{\nu} 、
:U^{\mu}=\bar{\Lambda}^{\mu} {}_{\nu}\ \bar{U}^{\nu} 。
在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。
假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 \tau 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。
這物體的運動可以用一條世界線 x(\tau) 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 \Delta \tau 與從別的慣性參考系 \mathcal{S} 所觀測到的微小時間間隔 \Delta t 的關係為
:\Delta t=\gamma\Delta \tau 。
所以，固有時 \tau 對於其它時間 t 的導數為
:\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma} 。
閔考斯基內積
在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 U^{\mu} 與 V_{\mu} 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：
:U^{\mu}V_{\mu} \ \stackrel{def}{=}\ U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3 。
由於這內積並不具正定性，即
:U^{\mu}U_{\mu}= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2
可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。
許多學者喜歡使用相反正負號的 \eta：
:\eta_{\mu \nu}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) 。
這樣，U^{\mu} 與 V_{\mu} 的內積改變為
:U^{\mu}V_{\mu}= - U^0 V^0+U^1 V^1 + U^2 V^2 + U^3 V^3 。
其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。
從參考系 \mathcal{S} 改換至另一參考系 \overline{\mathcal{S}} ，U^{\mu} 與 V_{\mu} 的內積為
:{U}^{\mu}{V}_{\mu}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta} {V}^{\beta}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \overline{V}^{\xi}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \eta_{\mu\beta}\ \overline{\Lambda}^{\beta} {}_{\xi}\ \eta^{\xi\zeta}\ \overline{V}_{\zeta}
=\overline{\Lambda}^{\mu} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{\Lambda}^{\zeta} {}_{\mu}\ \overline{V}_{\zeta}
=\delta^{\zeta} {}_{\alpha}\ \overline{U}^{\alpha}\ \overline{V}_{\zeta}
=\overline{U}^{\alpha}\overline{V}_{\alpha} 。
所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：：
:\Box A^\mu = \mu_0 J^\mu ;
其中，\mu_0 是磁常數，\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha=\left( \frac{1}{c^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。
四維頻率和四維波矢量
一個平面電磁波的四維頻率 {\nu}^\mu 定義為
:{\nu}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ (f,\, f\mathbf{n}) ；
其中，f 是電磁波的頻率，\mathbf{n} 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。
四維頻率與自己的內積永遠等於零：
:{\nu}^\alpha {\nu}_\alpha = (f)^2 (1 - n^2) = 0 。
一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 {K}^\alpha 來描述：
:{K}^\alpha\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{2\pi f}{c},\, \mathbf{k} \right) 。
其中，\mathbf{k} 是三維波矢量。
四維波矢量與四維頻率之間的關係為
:{K}^\alpha=\frac{2\pi{\nu}^\alpha}{c} 。
參閱
*洛侖茲協變性
參考文獻
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