算符

在物理學领域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。物理学的算符，有别于数学的算子，尽管两者英语相同。物理系統的變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。

對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。

對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。

一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。

經典力學
在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)或哈密頓量\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})決定；其中，\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n)、\dot{\mathbf{q}}=(\dot{q_1},\dot{q_2},\dot{q_3},\dots,\dot{q}_n)分別是廣義坐標、廣義速度，\mathbf{p} =(p_1,p_2,p_3,\dots,p_n)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{q}}}是共軛動量，t是時間。

假設拉格朗日量\mathcal{L}或哈密頓量\mathcal{H}與某廣義坐標q_i無關，則當q_i有所改變時，\mathcal{L}或\mathcal{H}仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於q_i的共軛動量p_i守恆。對於廣義坐標q_i的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。

特別而言，假設對於某種群G的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設S\in G，
:S\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})=\mathcal{H}(\mathbf{q}',\ \mathbf{p}')=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})。

在這案例裏，所有G的元素S都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管S作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。

舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」T_a能夠將粒子從坐標為q_i移動至坐標為q_i+a，以方程式表示：
:T_a f(q_i)=f(q_i-a)；

其中，f(q_i)是描述一群粒子的密度函數。

給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管T_a的作用，這物理系統的哈密頓量\mathcal{H}是個不變量，對應於坐標q_i的動量p_i守恆。

經典力學算符表格
:

*R(\hat{\mathbf{n}},\theta)是旋轉矩陣，\hat{\mathbf{n}}是旋轉軸向量，\theta是旋轉角弧。

生成元概念
對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為
:T_{\epsilon}\approx I+\epsilon A；

其中，I是「單位算符」──變換群的單位元，\epsilon是微小參數，A是專門用來設定平移變換群的生成元。

為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符T_\epsilon作用於函數f(x)：
:T_\epsilon f(x)=f(x - \epsilon)。

由於\epsilon很微小，可以泰勒近似f(x- \epsilon)為
: T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)。

重寫平移算符的方程式為
: T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon \mathrm{D}) f(x)；

其中，導數算符\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}是平移群的生成元。

總結，平移群的生成元是導數算符。

指數映射
在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做N次微小平移變換T_{a/N}，來代替一個有限值為a的平移變換T_a ：
:T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)。

現在，讓N變得無窮大，則因子a/N趨於無窮小：
:T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N)\mathrm{D})^N f(x)。

這表達式的極限為指數函數：
:T_a f(x)= e^{-a\mathrm{D}} f(x)。

核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：
:T_a f(x) = \left(I - a\mathrm{D} + {a^2\mathrm{D}^2\over 2!} - {a^3\mathrm{D}^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)。

這方程式的右手邊可以重寫為
:f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f(x) - {a^3\over 3!} f*(x) + \cdots。

這正是f(x-a)的泰勒級數，也是T_a f(x)的原本表達式結果。

物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學
在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。

量子算符
假設，物理量O是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符\hat{O}可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang，這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots，形成了具有正交歸一性的基底：

測量這動作將量子態|\psi\rang改變為本徵態|e_i\rang的機率為p_i=|c_i|^2，測量結果是本徵值O_i的機率也為p_i。

期望值
在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。

採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態|\psi\rang，可觀察量O的期望值\lang O\rang定義為

厄米算符
每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量O的期望值是實值：
:\lang O\rang=\lang O\rang^*。

對於任意量子態|\psi\rang，這關係都成立：
:\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*。

根據伴隨算符的定義，假設\hat{O}^{\dagger}是\hat{O}的伴隨算符，則\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang。因此，
:\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值\lambda：
: \det\left ( \hat{O} - \lambda\hat{I} \right ) = 0。

量子算符表格
在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。
:

範例
位置算符
只思考一維問題，將位置算符\hat{x}施加於位置本徵態|x\rang，可以得到本徵值x，即粒子的位置：
:\hat{x}|x\rang=x|x\rang。

由於位置基底具有完整性，\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x，任意量子態|\psi\rang可以按著位置本徵態形成的基底展開：
:|\psi\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x 。

將位置算符\hat{x}施加於量子態|\psi\rang，由於算符\hat{x}只作用於右矢 |x\rang，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：
:\hat{x}|\psi\rang=\hat{x}\int_{ - \infty}^{\infty}\ |x\rang\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \hat{x}|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x
=\int_{ - \infty}^{\infty}\ x|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x。

左矢\lang\psi|與這方程式的內積為
:\lang\psi|\hat{x}|\psi\rang
=\int_{ - \infty}^{\infty}\ x\lang\psi|x\rang\lang x|\psi\rang \mathrm{d}x。

設定量子態|\alpha\rang=\hat{x}|\psi\rang。由於位置基底具有完整性，\hat{I}=\int_{ - \infty}^{\infty}\ | x\rang\lang x|\mathrm{d}x，量子態\lang\psi|與|\alpha\rang的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為
:\lang\psi|\alpha\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\alpha\rang\mathrm{d}x=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \psi| x\rang\lang x|\hat{x}|\psi\rang\mathrm{d}x。

將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式
:\lang x|\hat{x}|\psi\rang=x\lang x|\psi\rang。

設定量子態|\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang 。量子態|\Psi\rang、|\psi\rang的位置空間表現，即波函數，分別定義為
:\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang、
:\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang。

兩個波函數\Psi(x)、\psi(x)之間的關係為
:\Psi(x)=x\psi(x)。

總結，位置算符\hat{x}作用於量子態|\psi\rang的結果|\Psi\rang，表現於位置空間，等價於波函數\psi(x)與x的乘積\Psi(x)。

動量算符
表現於位置空間，一維動量算符為
:\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}。

將動量算符\hat{p}施加於量子態|\psi\rang，可以得到類似前一節得到的結果：
:\lang x|\hat{p}|\psi\rang= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang。

應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態|\phi\rang，可以得到更廣義的結果：
:\begin{align}\lang \phi|\hat{p}|\psi\rang & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\lang x|\hat{p}|\psi\rang\mathrm{d}x \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \lang \phi| x\rang\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\lang x|\psi\rang\mathrm{d}x \\
& =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \phi^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\right)\psi(x)\mathrm{d}x \\
\end{align} ；

其中，\phi(x)=\lang x|\phi\rang、\psi(x)=\lang x|\psi\rang分別是量子態|\phi\rang、|\psi\rang表現於位置空間的波函數。

假設|\psi\rang是\hat{p}的本徵態，本徵值為p，則可得到
:\lang x|\hat{p}|\psi\rang=p\lang x|\psi\rang
= -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|\psi\rang 。

將|\psi\rang改寫為本徵值為p的本徵態|p\rang，方程式改寫為
: -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}\lang x|p\rang =p\lang x|p\rang。

這微分方程式的解析解為
:\lang x|p\rang=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ipx/\hbar}。

所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。

參閱
*有界算符
*表示論
*算子

參考文獻
Operator (Mathematik)#Operatoren der Physik