皮亚诺公理（；），也称皮亚诺公设，是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

内容
正确性，即排除与浅色不相关的深色骨牌的结构。]]

皮亚诺的这五条公理用非形式化方法叙述如下：

0是自然数；

每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；

对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；

0不是任何自然数的后继数；

任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a* 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

*X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。
*x不在f的值域内。（對應上面的公理4）
*f为一单射。（對應上面的公理3）
若A为X*的子集并满足：
**x属于A,且
*若a属于A,则f（a） 亦属于A*
:则A = X。

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

• (e\in S)
• (\forall a \in S)( f(a) \in S )
• (\forall b \in S)(\forall c \in S)(f(b)=f(c)\implies b=c)
• (\forall a \in S)( f(a) \neq e )
• (\forall A\subseteq S)(((e\in A)\land(\forall a \in A)(f(a)\in A))\implies(A=S))

皮亚诺算术
皮亚诺算术(PA)的公理:
*\forall x(Sx \neq 0)。
*\forall x,y((Sx = Sy) \Rightarrow x=y)。
*(\varphi[0] \wedge \forall x(\varphi[x]\Rightarrow\varphi[Sx])) \Rightarrow \forall x(\varphi[x])，对于在 PA 的语言中的任何公式 \varphi。
*\forall x(x+0=x)。
*\forall x,y(x+Sy = S(x+y))。
*\forall x(x \cdot 0=0)。
*\forall x,y(x \cdot Sy = (x \cdot y) + x)。

参见

• 自然数
• 数学基础
• 古德斯坦定理
• 邏輯主義
• 印符数论

参考资料
延伸阅读
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外部链接

• Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.

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• Commentary on Dedekind's work.