鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间 t 到时间 t+1 的增量，在给定时间 1 到 t 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。
定理内容
鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 X_1, X_2, \dots\, 构成一个鞅，即满足条件：
: \mathbb{E}[X_{t+1} - X_t \vert X_1,\dots, X_t]=0\,, （鞅的定义）
进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 k>0 ，有：
: |X_{t+1} - X_t| \le k
对所有 t 成立。 另假设|X_1|\le k 也成立。 定义增量的条件方差为：
: \sigma_t^2 = \mathbb{E}[(X_{t+1}-X_t)^2|X_1, \ldots, X_t],
并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：
: \sum_{t=1}^\infty \sigma_t^2 = \infty
据此，对任意给定的常数 \nu>0 ，可以定义：
: \tau_\nu = \min\left\{t : \sum_{i=1}^{t} \sigma_i^2 \ge \nu\right\}.
在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：
: \frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}}
随着 \nu \to +\infty \! 将会依分布收敛于标准正态分布。
随机增量的条件方差之和必须发散
上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：
: \sum_{t=1}^{\infty} \sigma_t^2 = \infty
这样可以确保以概率1，下式成立：
: \tau_v
并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。
定理的直观理解
可以通过将 \frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}} 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：
: \frac{X_{\tau_v}}{\sqrt{v}} = \frac{X_1}{\sqrt{v}} + \frac{1}{\sqrt{v}} \sum_{i=1}^{\tau_v-1} (X_{i+1}-X_i) , \forall \tau_v \geq 1
右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 X_{i+1}-X_i 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：
: \mathbb{E}[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[(X_{i+1}-X_i)(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_1,\ldots,X_{i+m}]] = 0
参考文献
*
- 有关定理5.4的讨论以及推论5.3（ii）的正确形式，请参见
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