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四面體

Wikipedia · 2025-12-26 维基百科 👁 1 阅读

{{Infobox polyhedron
| name = 四面體
三角錐
| polyhedron = 四面體
| imagename = Linear antiprism.png
| rotating = Tetrahedron.gif
| Face =4
| Edge =6
| Vertice =4
| Face_type = 三角形
| Schläfli ={3,3}
| Wythoff =3 | 2 3
| Coxeter_diagram=
| Symmetry_group =C3v, [3], (*33)
| Rotation_group =C3, [3]+, (33)
| dual =四面體
| dual_image = Tetrahedron-dual.png
}}

四面體是由四個三角形面組成的多面體，每两个三角形都有一个共同的边，每三个三角形都有一个共同的顶点。四面體也可以視為由四個三角形合成的角錐，底面為三角形，可以任一面為底，因此又稱為三角錐或三稜錐。所有四面体皆由四个顶点、六条棱和四个面組成，是所有凸多面体中最简单的。四面體包括正四面體、鍥形體等種類，由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。四面体也可以依角的類型分為銳角四面體、鈍角四面體、和直角四面體。

四面体是欧几里德单纯形在三维空间中的特例。

四面体是目前已知兩種每個面都與其他所有面相鄰的多面體之一，另外一種是希洛西七面體。

四面体也是锥体的一种。锥体是指将某个平面上的多面体的所有顶点分别和平面外的一点以线段连接後构成的多面体。按锥体的分类方法，所有四面體都是由某平面上的三角形和平面外一点构成的锥体，所以四面体也被称为三角錐。

海伦公式形态的四面体体积公式
如果U、V、W、u、v、w是四面体的六条边长（U、V、W构成四面体的其中一个三角形面，而u是与U相对的棱，v是与V相对的棱，w是与W相对的棱），则四面体体积
:V = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}
这里
:
\begin{align}
a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W).
\end{align}

利用四面体边之间的距离
四面体两条相对的边处于两条互相歪斜（在三维空间中既不相交也不平行，等价于异面）的直线上，所以四面体相对边之间的距离就被定义为其所在互相歪斜的直线之间的距离。设d是四面体相对的边 \mathbf{a} 和 \mathbf{b}-\mathbf{c} 之间的距离，则四面体的另一个体积公式是：
:V = \frac {d |[\mathbf{a} \times \mathbf{(b-c)}]| } {6}.

关于四面体性质的其它向量公式
如果OABC四点能够构成一个四面体，并且O点位于我们所定的空间直角坐标系的原点，而向量\mathbf{a}、\mathbf{b}、\mathbf{c}代表着顶点A、B、C相对于O的位置，则四面体内切圆半径可表示为：（在以下的公式中，像\mathbf{a}^2这样的向量的平方代表着数量积\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}，\mathbf{b}^2和\mathbf{c}^2也是这样）
:r= \frac {6V} \,
外接圆半径可表示为：
:R= \frac {12V} \,
于是我们可知十二点圆半径为：
:r_T= \frac {36V} \,
这里V是四面体的体积：
:6V= |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|. \,
四面体的各种中心的位置向量是：
形心：
:\mathbf{G} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}}{4}. \,
内心：
:\mathbf{I}= \frac{ |\mathbf{b}\times \mathbf{c}| \, \mathbf{a} + |\mathbf{c}\times \mathbf{a}| \, \mathbf{b} + |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| \, \mathbf{c} }{ |\mathbf{b}\times \mathbf{c}| + |\mathbf{c}\times \mathbf{a}| + |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| + |\mathbf{b}\times \mathbf{c} + \mathbf{c}\times \mathbf{a} + \mathbf{a}\times \mathbf{b}| }. \,
外心：
:\mathbf{O}= \frac {\mathbf{a^2}(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b^2}(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c^2}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})} {2\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}. \,
蒙日点：
:\mathbf{M} = \frac {\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\cdot (\mathbf{c} + \mathbf{a})(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})(\mathbf{a} \times \mathbf{b})} {2\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})}. \,
欧拉线上的中心之间的关系是：
: \mathbf{G} = \mathbf{M} + \frac{1}{2} (\mathbf{O}-\mathbf{M})\,
: \mathbf{T} = \mathbf{M} + \frac{1}{3} (\mathbf{O}-\mathbf{M})\,
这里\mathbf{T}是十二点心。
在这里，我们还有：
:\mathbf{a} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{a^2}}{2} \quad\quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{b^2}}{2} \quad\quad \mathbf{c} \cdot \mathbf{O} = \frac {\mathbf{c^2}}{2}\,
和：
:\mathbf{a} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c})}{2} \quad\quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} + \mathbf{a})}{2} \quad\quad \mathbf{c} \cdot \mathbf{M} = \frac {\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b})}{2}.\,

對稱變換群
以下列表示出了对应四面体的图案，相同颜色的棱在等距同构对称变换中是等价的，而灰色则代表着条边是不同于任何另外一边的。

四面体正弦定理和所有形状四面体所构成的空间
通过通常的三角形正弦定理，我们可以得到一个自然的推论，即在以O、A、B、C为顶点的四面体中，有
:\sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA = \sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.\,
这个等式的两边可以被看作分别是顺时针取向的角的正弦乘积和逆时针取向角的正弦乘积。

通过将不同的顶点置于上式中O点的位置，我们可以得到4个这样的等式，但实际上，只有最多3个等式是独立的，因为我们可以将这3个等式的“顺时针边”和“逆时针边”分别相乘，得到一个新的等式，再消去相同的因式，这样就能够通过这3个等式得到第4个等式。

三个角能属于同一个三角形当且仅当这三个角之和为180°（\pi弧度）。那么，12个角要满足什么充分必要条件，才能使其为一个四面体表面的12个角呢？首先，我们知道，四面体4个面每个面上的3个角之和都要为180°。因为我们对于这12个角有4个这样的限制，四面体12个角的取值自由度（统计学）从12降到了8。进一步地，四面体角的4个正弦定理又降低了自由度，但不是降到4而是降到了5，因为第4个四面体正弦定理并不是相对于前3个独立的。因此，我们只要确定了四面体12个表面角中的任意5个角，则这个四面体就被唯一确定了，因此，我们可以用五维空间中的点来描述所有的四面体，也就是说，所有形状四面体构成的空间是五维的。

其他種類的四面體
更廣義地說，四面體泛指所有由四個面構成的多面體。若其在歐氏空間、實數空間、構成面都是平面且未退化的情況下僅有可能是正四面體或三角錐。然而在上述條件不滿足的情況下，有可能可以建構出不同拓樸結構的四面體，例如皮特里立方體，其由4個構成，但由於其構成面是一種扭歪多邊形，無法確定其封閉範圍及面積，因此無法存在體積與表面積；而退化的四面體例子如四面形、八面體半形和二角柱等。

三角錐
在幾何學中，三角錐是一種底面為三角形的錐體，這種錐體所有形式都與四面體有相同的拓樸結構。根據角錐的定義，其由一個底面和一個頂點組成，底面的頂點與底面外的頂點相連接，形成與底面邊數相同數量的三角形側面。而三角錐是指底面為三角形的角錐，因此其會有3個側面，合計共4個面，且皆為三角形，因此結構基本上與四面體等價，皆為由四個三角形合成的立體。由於底面和側面皆為三角形，因此視為三角錐時，可以任一面為底，因此詞彙「三角錐」與「四面體」有時會被視為同義詞。

四面形
在幾何學中，四面形是一種基底為四邊形的多面形，由4個月牙形或球弓形組成的球面鑲嵌，並且使得每一個月牙形或球弓形共用相同的兩個頂點。其在施萊夫利符號中用 {2,4} 表示。其亦可以視為由球面正二角形組成的球面鑲嵌圖，又稱為四階二角形鑲嵌或四階二邊形鑲嵌。

四面形是一種退化的四面體，無法擁有體積，由四個二角形組成。在球面幾何學中，四面形可以在球面上以鑲嵌的方式存在，其對偶多面體是四邊形二面體。

四面形由四個二角形組成，每個頂點都是四個二角形的公共頂點。正四面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是四個正二角形的公共頂點，因此正四面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。

四面形具有D4h, [2,4], (224)的對稱性和D4*, [2,4]+的旋轉對稱性，且階數為16，在考克斯特符號中用表示，其對稱性與四角柱相同，因此四角柱也可以視為一種與四面形相關的立體，因為四角柱可以經由四面形透過截角變換構造。

四面體列表
相關多面體
任意非退化的四面體皆是三角錐的一種，因此與其它的錐體有相似的關連。

註釋
參考文獻
*

參見
*正四面體
*截角四面體
*四面體數

外部連結
*

#4 #多面体

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