弱*拓撲

*弱拓撲*是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義
在域\mathbb K（\mathbb K是\mathbb R或\mathbb C）上的賦範空間E中，每一個元素x，都可以定義對偶空間E^上的一個線性算子\hat{x}(f) := f(x)。弱拓撲是在E^上最弱的拓撲，使得所有這樣的\hat x:E^ \to \mathbb K都是連續的。

弱拓撲可以更具體的定義，在E^上給出它的鄰域基：對任何f\in E^*，集合
:U_f(x_1,\ldots,x_n,\epsilon) := \{g\in E^*; |f(x_j) - g(x_j)|
其中x_1,\ldots,x_n\in E, n\in {\mathbb N}，\epsilon > 0，是f的弱*開的鄰域基。

收斂
弱拓撲的收斂條件很簡單：序列(f_n)_{n \in {\mathbb N}}在弱拓撲中收斂，如果對任何x \in E都有\lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)，即f_n逐點收斂到f。弱收斂記作f_n \overset{}{\rightharpoonup} f。

弱收斂性比依範數收斂性弱。如果\| f - f_n \| \to 0，其中\| \cdot \|是E^的範數，則f_n必然逐點收斂於f，因而有f_n \overset{}{\rightharpoonup} f；但是，f_n \overset{}{\rightharpoonup} f不一定有\| f - f_n \| \to 0，甚至可能\| f_n \| \nrightarrow \|f\|。

半範數
對偶空間E^加上弱拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予E^一個半範數的系統定義弱拓撲。對x_1,\ldots,x_n\in E, n\in {\mathbb N}，
:p_{x_1,\ldots x_n}(f) := \max\{|f(x_1)|,\ldots,|f(x_n)|\},
構成這樣一個半範數的系統。

參考
K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968