在数学中，双曲线（；，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
使得B^2>4AC，这裡的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对(x,y)的多于一个的解。

在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

定义
上面已经列出：
*平面切直角圆锥面的两半的交截线。
*与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。
*到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于1的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率\pm\frac{b}{a}，对于北南开口的双曲线有斜率\pm\frac{a}{b}。

双曲线有个性質，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程xy=c给出，这裡的c是常数。

如果对双曲线方程交换x和y，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

笛卡尔坐标
中心位于(h,k)的左右开口的双曲线：
:\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1
中心位于(h,k)的上下开口的双曲线：
:\frac{\left(y-k\right)^2}{a^2}-\frac{\left(x-h\right)^2}{b^2}=1
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，a是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而b是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是2b，平行于实轴的两边的长度是2a，注意b可以大于a。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是2a。

离心率给出自：
:e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}

左右开口的双曲线的焦点是：\left(h\pm c,k\right)，其中c给出自c^2=a^2+b^2。

上下开口的双曲线的焦点是：\left(h,k\pm c\right)，其中c给出自c^2=a^2+b^2。

等軸雙曲線
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即2a=2b且e=\sqrt{2}，此时渐近线方程为y=\pm x（无论焦点在x轴还是y轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为1，即a=b=1，满足方程：
: x^2-y^2=1或y^2-x^2=1。

对于以直线x=h和直线y=k为渐近线的直角双曲线：
:(x-h)(y-k)=c

这种双曲线最简单的例子是：
:y=\frac{m}{x}

共軛雙曲線
當双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴，且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。若S的方程為
:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
則S'的方程為
:\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1.

其特点為：

共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。

焦距相等。

两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1。

极坐标
左右开口的双曲线：
:r^2=a^2\sec{2}\theta
上下开口的双曲线：
:r^2=-a^2\sec{2}\theta
上右下左开口的双曲线：
:r^2=a^2\csc{2}\theta
上左下右开口的双曲线：
:r^2=-a^2\csc{2}\theta

在所有公式中，中心在极点，而a是半实轴和半虚轴。

双曲线的参数方程
如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线：
:\begin{cases}
x=a\sec{t}+h\\
y=b\tan{t}+k\\
\end{cases}

或
:\begin{cases}
x=a\cosh{t}+h\\
y=b\sinh{t}+k\\
\end{cases}

上下开口的双曲线：
:\begin{cases}
x=b\tan{t}+h\\
y=a\sec{t}+k\\
\end{cases}

或
:\begin{cases}
x=b\sinh{t}+h\\
y=a\cosh{t}+k\\
\end{cases}

在所有公式中，(h,k)是双曲线的中点，a是半实轴而b是半虚轴。

双曲线的标准方程
焦点在x轴：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

焦点在y轴：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1

双曲线的渐近线方程
焦線平行於x轴：y=\pm\frac{b}{a}x

焦線平行於y轴：y=\pm\frac{a}{b}x

圆锥曲线方程
\rho=\frac{ep}{1+e\cos\theta}

当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，\theta为弦与x轴夹角。

参考文献
外部链接
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• [http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html Mathworld - Hyperbola]

参见

• 圆锥曲线
• 双曲函数