根基

根基（英文：）在數論中用以代指正整數n的所有相異質因數的積，寫作如下形式：

\mathrm{rad}(n) = \prod_{p\mid n} p.

若不會與開方運算中的“根（）”概念混淆，也常簡稱“根”。
整數的根對簡化abc猜想的表述起到重要作用。

示例
以n = 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7為例，其根基

\mathrm{rad}(504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42.

而所有正整數的根基，會組成如下的根基數列（）：1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... 。

性質

• 對於正整數a, b，\mathrm{rad}\left(a^b\right) = \mathrm{rad}(a)。
• 對於正整數a, b，若\mathrm{gcd}(a, b) = 1，則\mathrm{rad}(ab) = \mathrm{rad}(a) \cdot \mathrm{rad}(b)。也就是\mathrm{rad}是積性函數。
• 對於正整數a, b，\mathrm{rad}(ab) = \frac{\mathrm{rad}(a) \cdot \mathrm{rad}(b)}{\mathrm{rad}(\mathrm{gcd}(a, b))}。
• \mathrm{rad}(n)是正整數n的最大無平方因子數因數，故又稱n的無平方核心（）。至今，仍未有能在多項式時間內計算n的無平方部分的算法。
• \mathrm{rad}(n)可推廣為n的最大無t次方因子數因數\mathrm{rad}_t(n)，其中函數\mathrm{rad}_t定義如下：

\mathrm{rad}_t:\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+,\ n \mapsto \prod_{p\mid n} p^{\mathrm{min}(\nu_{p}(n), t - 1)}.

:而\mathrm{rad}_2(n) = \mathrm{rad}(n)，\mathrm{rad}_3(n)及\mathrm{rad}_4(n)的數列分別由和列舉。最後，\mathrm{rad}_\infty(n) = n。

• 根基的表達式出現於abc猜想中，而這猜想表示說，對於任意的\varepsilon > 0，都有一個K_\varepsilon，使得對於任意滿足a+b=c且互質的三元數組a、b、c而言，都有以下的關係：

c

• 對於任意整數n而言，有限環\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}的所有幂零元都是\operatorname{rad}(n)的倍數。
• 根基有如下的狄利克雷級數：

*:\prod_p \left(1+\frac{p^{1-s}}{1-p^{-s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{rad}(n)}{n^s}

參見

• 理想的根

参考资料