自行車及摩托車的動力學

在轉彎時的傾斜]]

自行車及摩托車的動力學是有關自行車及機車以及其零組件，因受力而產生運動的物理學，屬於的範疇。動力學屬於物理學中经典力学的領域。自行車的運動中，比較多人在意的包括力学平衡、反向操舵（countersteering）、煞車、加速度、懸吊系統靈活性、以及振动。對於自行車運動的研究從十九世紀末就開始了，目前仍有相關的研究。

自行車及機車都是二個輪子共平面，可以只產生一個輪跡的，因此其運動有許多的基本共同點，本質上也和其他車輛（例如、自行三轮车、）不同，並且更加困難。自行車和單輪車類似，在靜止時沒有側向的穩定性，大部份情形下，自行車在前進時，車身需維持直立。实验及数学模型可以證明，當脚踏車的質心被操控維持在車輪上時，車身可以維持直立。多半就是騎車的人來操控，有時自行車也可以在無人控制的情形下維持平衡。包括幾何、質量分佈及陀螺效應的幾個因素都在不同程度影響其本體穩定度。但長期存在宣稱以陀螺效應或曳距（Trail，從前輪與地面的接觸點，到轉向軸與地面的交點，沿地面方向的距離）決定自行車穩定的假設已確定不成立。

學習自行車時，初期目標就是如何使車輛在行進間穩定直立，不過在轉彎時，為了維持平衡，自行車需要傾斜：若速率越快，或是轉彎半径越小，其傾斜程度要越大。傾斜可以平衡離心力及重力的影響。傾斜一般是瞬時往反方向轉向，稱為反向操舵。反向操舵之技巧是透過运动技能学习所習得的，是透過程序記憶運作，不是透過有意識的思考。自行車和其他的車輛不同，其主要控制輸入是給龍頭的力矩，而不是位置。

自行車在靜止時有縱向的穩定性，而自行車的重心較高，軸距較短，因此在有足夠加速度或是減速度的情形下，可以。在煞車時，依照自行車及騎者重心位置的不同，以及前輪接觸地面的位置，自行車有可能前輪，也有可能是自行車旋轉，自行車及騎者一起翻到前輪之前。在加速時也會有類似的情形，不過加速時會相對後輪來分析。

歷史
早在自行車發展期間，就已開始自行車動力學研究的歷史。其中有許多著名科學家的貢獻，例如蘭金、及等人。

法国科学院在1897年將瞭解自行車的動力學列為Prix Fourneyron競賽的目標，、及Francis Whipple在十九世紀末用刚体动力学證明，有些在適當的速度下可以自行平衡。

在1970年於《》發表一篇文章，提到在維持自行車平衡的過程中，不一定需要陀螺效應，那時Robin Sharp已經定期的發表有關自行車及摩托車行為的文章。Robin Sharp在倫敦帝國學院時，和David Limebeer及Simos Evangelou一起共事。

Cossalter等人從1990年代開始，在Padova大學研究摩托車的動力學。其研究包括實驗以及數值分析，其中包括了迂迴擺動（weave）、 擺振（wobble）、顫振（chatter）、模擬、車輛建模、輪胎建模、操控以及最小單圈時間操控（minimum lap time maneuvering）。

Meijaard等人在2007年在《皇家學會報告A》中發表了正則的線性化运动方程，配合兩種不同的驗證方式。

2013年時，艾迪·莫克斯因為確認自行車的穩定性，獲得根特大学的15萬歐元。

受力
若將自行車和駕駛視為一個系統，作用在系統及其各部份的力可以分為兩類：外力及內力。外力包括重力、慣性力、和地面接觸產生的力、以及和空氣接觸產生的力。內力是駕駛所產生的力，或各部份之間的相互施力。

外力
自行車和駕駛會受到重力的影響，有向下的力，兩個輪子的會受到地面水平方向及垂直方向的反作用力。垂直方向反作用力是因為重力而產生，也會因為加速或是煞車而變化。水平方向反作用力是因為輪子和地面的摩擦，其中也包括了滾動阻力，是因為車輛推進力、煞車力及轉向力而產生。空氣施力中大部份是和前進方向相反的阻力，不過也可能有側風。在自行車以一般速度行駛時，其空氣阻力是反抗其前進的外力中，最大的外力。若速度更快，空氣阻力會遠大於其他的阻力。

轉向力是因為操作平衡，以及單純轉彎時產生。可以解讀為在自行車和駕駛此系統的加速参考系中的離心力，或只是靜止惯性参考系下的慣性。陀螺力是因為車輪、引擎、傳動等轉動件所產生，也是因為轉動件的慣量所造成。

內力
內力是自行車和駕駛系統中，各組件之間的施力，大部份是因為駕駛者或是摩擦力產生。駕駛者除了踏踏板外，也會在轉向機構（前叉、把手桿、前輪等）及後車架中施加力矩。摩擦力出現在二個有相對運動的組件之間，例如动力总成、轉向機構及後車架之間等。會在轉動的輪子和不轉動的車架之間產生摩擦力，有許多車在前叉及後車架都有。有些機車及自行車會有，來消耗不想要的動能，有些車有連接前叉及後車架的彈簧，提供個漸近的力矩，使腳踏車往前。若自行車有後懸吊系統，需考慮动力总成及懸吊系統之間的反馈問題，設計者一般會用不同的连杆机构組態以及來設法改善此問題。

運動
自行車的運動可以大致分為不在其對稱面上的（側向運動），以及在其對稱面上的（縱向及垂直運動）。側向運動包括平衡、傾斜、轉向（steering）及轉彎。在對稱面上的運動包括車輪轉動讓自行車前進，也包括、翹前輪及懸吊系統的動作，也包括伸縮前叉機車的煞車下沉（brake diving）。不在對稱面上的運動和對稱面上的運動是線性解耦，在一階近似的範圍內互相獨立。自穩定性是由於許多因素的結合，和自行車的幾何外形、質量分佈、自行車的前進速度有關。輪胎、懸吊系統、轉向的阻尼及車架撓性也都會影響自穩定性，尤其是機車更明顯。

就算是在車輛未行進的情形下，駕駛者也可以用類似原理來使自行車平衡。例如在自行車（自行車不行進，駕駛者腳不著地的情形下維持直立平衡）時，駕駛者可以設法讓駕駛和車輛的結合重心在二個輪胎接地印跡的連線上，以維持平衡，方式是將前輪左右微幅轉向，若需要的話，也可以將車輛微幅的前進及後退，設法調整前輪的接地印跡。讓車輛前進可以靠踏踏板達成，若是死飛，也可以用踏踏板來讓車輛後退。不然，駕駛者也可以利用路面適當的坡度，或是在自行車剎車動作時讓駕駛上半身略為往後傾斜。

若自行車的把手鎖住不能轉彎，在自行車行進時幾乎不可能使車平衡。若是將自行車加上反向旋轉的輪，抵消其陀螺儀效應，自行車在行進時仍可以靠駕駛控制而平衡。

前進速度
駕駛者會在自行車龍頭上施加力矩來轉動前輪，以控制自行車傾斜及維持平衡。若速度較快時，小的轉向角度就可以讓前輪接地印跡快速的側向移動。但在低速時，若要在相同時間內將前輪接地印跡移動相同的量，需要較大的轉向角度。因此，自行車在高速時比較容易維持平衡。自平衡一般也是要超過某一個速度後才會出現，自行車若速度越快，自身平衡的效果越好。

重心位置
自行車和駕駛系統的重心越靠近前輪，前輪要維持平衡要做的側向位移越小。若重心越靠近前輪，前輪要維持平衡要做的側向位移越大，或是需要較快的前進速度才能使自行車平衡。這可以從一些長軸距的自行車，例如臥式自行車、及中即可看出。針對，在後輪上（甚至後輪後方）有大齒輪的設計，要平衡也是項挑戰。後輪上的重量若比前輪上重量的高度要低，在控制上會比較簡單。不過車輛在靜止時的平衡情形和在行進時不同。例如重心較高的車在因為紅燈停車時，就會比重心較低的車要難維持平衡。這是垂直型第二類槓桿的例子。支點在輪胎和地面接觸的部份，若重量越靠近支點，需要施的力就越小。因此自行車旅行時會建議將重物放在較低的位置，在自行車前方及後方兩側加掛。

曳距
、前叉偏移量（rake）及曳距（trail）]]

曳距（trail）是前輪轉向軸（就是包括前叉、龍頭、前輪整個轉向機構的樞鈕）延伸到地面的點，領先前輪和地面接觸點的長度，是影響自行車操作性的因素之一。在傳統自行車的設計中（其前輪轉向軸會略為彎曲偏離垂直線的設計），不論前進速度為何，正值的曳距會將前輪轉向車身傾斜的方向：
:\text{Trail} = \frac{(R_w \cos(A_h) - O_f)}{\sin(A_h)}
其中
:R_w為前輪半徑
:A_h是頭管角，由水平方向順時針量測
:O_f是前叉偏移量（rake）

增加曳距的方式有增加前輪半徑、減少頭管角或減少前叉偏移量。

傳統自行車的曳距越大，在騎乘時會越穩定，不過曳距太大會讓自行車不容易轉向。若自行車的曳距為負（前輪轉向軸延伸到地面的點，在前輪和地面接觸點之後），雖然仍然可以操控，但目前有的資訊是非常不穩定。一般而言，公路賽車自行車的曳距會比旅行自行車要大，但比登山自行車要小。登山自行車的頭管角比公路自行車要小，以提升在下坡時的穩定性，因此其曳距較大。旅行自行車的曳距較小，讓駕駛者用所載行李較低的重心使車輛平衡，因此沒有行李的旅行自行車可能會較不穩定。自行車的一般會是彎曲的，在靠近前輪軸的部份會轉為較水平的角度，使前輪轉向軸較接近垂直，讓曳距可以比較小。有些自行車會有負曳距（例如Python Lowracer），也可以騎，有些實驗性的負曳距自行車，其實驗結果也可以自穩定。

Whitt及Wilson的小型研究指出。若傾斜角及轉向角夠大，曳距有可能變為零，這也會影響駕駛者控制車輛平衡的能力，是轉向軸到前輪接觸面形心的垂直距離。

軸距
軸距（wheelbase）是影響方向穩定性的因素之一，是指前輪和後輪對地接觸面之間的水平距離。由於干擾影響，前輪有一定的位移，偏離原定路徑的角度和軸距成反比。另外的參數，例如質心相對前後的位置，以及質心的高度也會影響行車的動態平衡。
後輪不會進動，因為前輪是受到地面對輪胎的摩擦力影響，就算沒有自旋也會繼續傾斜。因此陀螺力無法提供阻止腳踏車翻倒的力。

在前進速度較慢時，前輪的進動速度太快，因此自行車會有過度轉向（oversteer）的情形，會開始往另一邊傾斜，會讓自行車左右晃動甚至翻倒，屬於不容易操控的情形。在較高速時，前輪的進動速度太慢，自行車會有轉向不足（understeer）的情形，無法到直立的位置，自行車也會翻倒

反向操舵
穩定的轉彎
在開始轉彎後，維持自行車在固定轉彎半徑、固定速度下轉彎需要的力矩會隨車速、車輛幾何及質量分佈有關。。輪胎的影響有二個方面：有限的胎冠半徑，以及產生力的方式。增加前輪的胎冠半徑會減少自穩定性，或甚至完全抵消。增加後輪的胎冠半徑的效果相反，不過比較不明顯。大型旅行摩托車的科赫指數較大，而运动型摩托车科赫指數數值在中間，速克達的科赫指數會比較小，車輛最終的轉向會和一開始的轉向不同（即為反向操舵）。
自由度
自行車的自由度會因為選用的模型不同而不同，最簡單的模型為Whipple模型，得名自最早發現模型的Francis Whipple以及其相關的關係。也有文獻探討最佳的駕駛者穩定度控制，以及路徑追隨控制。上述計算特徵值的理想模型沒有考慮真實輪胎會產生的力矩，另外輪胎和路面之間的交互作用無法避免高速下傾倒（capsize）模態的不穩定，如同Wilson和Cossalter認為，真實世界所發生的情形一樣。

模態
自行車和其他複雜旳機械一樣，有許多的模態：其基本的運動特性。模態可以分為穩定或不穩定，依自行車參數及前進速度而定。這裡提到的「穩定」指的是未受控的自行車只要維持速度，就可以繼續前進，不會倒下，而「不穩定」指的是未受控的自行車就算維持速度，最終仍然會倒下的情形。模式可以依其平衡穩定的速度，以及當時傾斜及轉向的情形而定。任何的自行車運動都是由許多模態組合而成，模態主要有三種：傾倒（capsize）、迂迴擺動（Weave）及擺振（wobble）。這種不穩定最常出現在高速時，類似賣場推車輪子、飛機起落架及汽車前輪會有的振盪。

擺振會在出現一些小幅不規則時出現，例如前叉的不對稱、讓輪子加速往某一側移動。車輪的恢復力和不規則的作用力恰好同步，輪子會因此轉向。若不足，振盪會因此變大，最後系統會失效。若改變行進速度，讓自行車的剛性變高或是變輕，或是增加轉向的剛性，擺振頻率也會變化。在上述運動方程章節有進一步有關運動方程及特徵值的說明。以下是一些通用性的結論。

後車架及輪軸的側向剛性及扭轉剛性實際上會影響擺振模態的阻尼。長軸距、長曳距及較平的頭管角可以增加擺振模態的阻尼。若將扭轉軸儘量放低，可以克服側向的抖動。

Cornering迂迴擺動的傾向會因為後輪懸吊阻尼的減弱而增強。Cornering、外彎剛度及後輪的鬆弛長度（relaxation length）對迂迴擺動的阻尼影響最大。前輪的相關參數影響較小。後輪的載重會放大迂迴擺動的傾向。不過後輪的載重若配合適合的剛性以及阻尼，可以減小擺振及迂迴擺動。

有個研究在理論上證明，在自行車轉彎時，若道路起伏剛好對應車輛速度以及其他參數，可能會在高速激發迂迴擺動模態，或是在低速激發擺振模態。若有有效的轉向阻尼，可以減小擺振。而駕駛者若比較輕，比較不會激發迂迴擺動模態。

在跑步機及滾筒上行駛
自行車在跑步機行駛的情形理論上和在固定路面上行駛的情形相同。實際測試結果也是如此。目前已有設計特別為室內自行車訓練用的跑步機。的動力學是目前仍在研究的主題。

其他的假設
自行車及摩托車大致可分為四個主要部份（車架、前叉及二個輪子），看起來似乎是很簡單的機械，但由於其組成方式，使得分析相當困難，視文獻而不同。這種現象對自行車設計者及駕駛者是挑戰，但有時也是優勢。例如摩托車賽車手可以用此效應增加轉彎時前輪的摩擦力，在重剎車時設法減少前懸架壓縮量的想法也產生了許多摩托車前叉的設計。

總空氣阻力可以視為只作用在一個點上，稱為壓力中心。例如軸距為L，重心高度為h，重心距後輪的水平距離為b的自行車，在兩輪鎖死時，地面所產生的垂直反作用力為。

地面的角度也會影響上述的計算。上述條件都一樣，在上坡時蹺前輪的風險降低，而下坡時的風險會比較高。
煞車
自行車大部份的剎車力是來自前輪。如以上分析所述的，若自行車剎車系統夠強大，後輪很容易打滑，而前輪可以產生夠大的剎車力，甚至會讓車輛和騎士以前輪為軸心旋轉。此時後輪離地，若車輛沒有翻倒，則稱為。不過較低或是較長型的車輛，例如cruiser motorcycles或臥式自行車。前輪比較容易打滑，可能會失去平衡。若沒有失去平衡，可以依照車輛的幾何、重心位置以及最大摩擦係數計算最大的剎車性能。

若車輛的前叉有懸吊，特別是伸縮，會因為往下的力增加而壓縮懸吊系統，使車輛的前面變低。這稱為「俯衝煞車」（brake diving）。有一種騎車的技巧，利用剎車時所增加的往下力量，此技巧稱為循迹刹车。

前輪煞車
前輪煞車力的限制因素有：
*輪胎和地面最大靜摩擦力的數值，若天然橡胶在乾燥的柏油路面上，約在0.5到0.8之間
*煞車墊和輪緣或是煞車碟的動摩擦力
*重心相對於前輪的位置。

若自行車直立，在乾燥柏油路面上，煞車系統很好，騎乘者的俯仰位置可能會是限制因素。騎乘者和車輛的重心在前輪和地面接觸點後60公分，上方120公分，煞車減速度可以到0.5 g（5 m/s2）。

*路面光滑或是顛簸。若用前輪煞車，低摩擦係數可能會讓前輪打滑，失去平衡。
煞車技巧
專家的建議不一，從「一開始前後輪一起剎車」
到「正常軸距的自行車，最快讓自行車停下的方式是讓前輪急剎到後輪快到離開地面的程度、轮胎平衡、地面、空气动力学、車輛的傳動及摩擦、以及振動對車輛、駕駛者及安全性的影響。振動分析中很重要的是比較系統的基本頻率以及可能振動源的振動頻率。若二者接近，表示可能會出現共振，讓振動的振幅持續變大。振動阻尼器設計時，一方面需要在特定方向（例如垂直方向）有隨受力變形的順應性，但又不能犧牲動力傳動以及轉向（扭转）需要的框架剛性。另一個和振動有關的問題是可能會因為金屬疲勞而讓零件失效。振勳對駕駛者的影響有不適、失去平衡、手-手臂振動症候群（續發性的雷諾氏症候群）及全身振動。在車輛上使用振動設備量測，可能不一定準確，而且不容易閱讀、凝膠車把、坐墊，或是一些特殊的配件，例如特製的Zertz，或是崔克自行車公司的Buzzkills。

摩托車
摩托車的振動來源除了路面以外，摩托車的引擎及輪子若沒有平衡，也可能造成振動。製造商會用許多方式來減少振動，或是用阻尼來耗散振動。這些作法包括有、橡膠引擎支架及轮胎平衡。振動產生的問題也造成售後零件及系統相關產業的產生。附加組件包括有配重、隔離腳蹬以及引擎曲轴。高速時的摩托車及騎士會偶到空氣力學上的或。這可以用改變空氣流動的主要零件來調整，例如加裝機車擋風玻璃。

實驗
為了驗證或是反證許多有關自行車動力學的假說，已進行了許多的實驗。

• 為了研究什麼情形會讓自行車無法行駛，製造了許多特殊的自行車。
• Schwab和Kooijman有針對instrumented bike進行量測。
• Hubbard和Moore也有針對instrumented bike進行量測。

參考資料
延伸閱讀
*[http://www.dclxvi.org/chunk/tech/trail/ An Introduction to Bicycle Geometry and Handling] , Karl Anderson
*[http://www.sheldonbrown.com/brandt/gyro.html What keeps the bicycle upright?] by Jobst Brandt|Jobst Brandt
*[http://www.johnforester.com/Articles/BicycleEng/dahon.htm Report on Stability of the Dahon Bicycle] by John Forester

外部連結
影片:
*[http://ruina.tam.cornell.edu/research/videos/bicycle_mechanics/bicycle_stability.mov Video of riderless bicycle demonstrating self-stability]
*[https://www.youtube.com/watch?v=2Y4mbT3ozcA Why bicycles do not fall: Arend Schwab at TEDx Delft 2012]
*[http://www2.ee.ic.ac.uk/cap/cappp/projects/2/files/wobble_0_65.avi Wobble movie (AVI)]
*[http://www2.ee.ic.ac.uk/cap/cappp/projects/2/files/weave_0_65.avi Weave movie (AVI)]
*[http://www.flyingsnail.com/Sprung/tankslapper.html Wobble Crash (Flash)]
[https://web.archive.org/web/20130905130953/http://sciencefriday.com/video/04/15/2011/physics-of-the-riderless-bike.html Video] on Science Friday*

研究中心:
*[http://bicycle.tudelft.nl/schwab/Bicycle/index.htm Bicycle Dynamics] at Delft University of Technology
*[http://ruina.tam.cornell.edu/research/topics/bicycle_mechanics/overview.php Bicycle Mechanics] at Cornell University
*[https://web.archive.org/web/20071222034949/http://www.losethetrainingwheels.org/default.aspx?Lev=2&ID=33 Bicycle Science] at the University of Illinois
*[http://www.dinamoto.it/index.html Motorcycle Dynamics] at the University of Padova
*[http://www3.imperial.ac.uk/controlandpower/research/motorcycles Control and Power Research Group] at Imperial College
*[https://web.archive.org/web/20100904070647/http://biosport.ucdavis.edu/research-projects/bicycle Bicycle dynamics, control and handling] at UC Davis
*[http://people.uwm.edu/adressel/bicycle-and-motorcycle-engineering-research-laboratory/ Bicycle and Motorcycle Engineering Research Laboratory] at the University of Wisconsin-Milwaukee

研討會:
*[http://www.bicycle.tudelft.nl/ProceedingsBMD2010/ Bicycle and Motorcycle Dynamics 2010] : Symposium on Dynamics and Control of Single Track Vehicles, Delft University of Technology, Oct 20-22, 2010
*[https://web.archive.org/web/20121025180510/http://biosport.ucdavis.edu/blog/2012/10/22/single-track-vehicle-dynamics-at-dscc-2012-a-recap Single Track Vehicle Dynamics at DSCC 2012]: two sessions at the ASME Dynamic Systems and Control Conference in Fort Lauderdale, Florida, USA, October 17–19, 2012

• [http://www.bmd2013.org/ Bicycle and Motorcycle Dynamics 2013] : Symposium on Dynamics and Control of Single Track Vehicles, Nihon University, Nov 11-13, 2013
• [http://www.bmd2016mke.org/ Bicycle and Motorcycle Dynamics 2016] : Symposium on Dynamics and Control of Single Track Vehicles, University of Wisconsin–Milwaukee, Sept 21-23, 2016
• [https://bmd2019.org/ Bicycle and Motorcycle Dynamics 2019] : Symposium on Dynamics and Control of Single Track Vehicles, University of Padova, Sept, 9–11, 2019
• [http://bmdconf.org/ Bicycle and Motorcycle Dynamics Conference] : Summary page