垂线偏差

垂线偏差（）指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异，也即重力异常矢量的方向。垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异，其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定，而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。

数学表达
设 \mathbf{P} 为大地水准面上一点，其所处的垂线方向为 \mathbf{n}，通过重力测量方式测得的天文坐标为 \left(\Phi, \Lambda \right) 。将其沿参考椭球面的法线 \mathbf{n'} 投影至椭球面上的点 \mathbf{Q}，得到其地理坐标为 \left(\varphi, \lambda \right) 。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 \xi 和其在东西方向（即卯酉圈方向）上的投影 \eta 描述：

:\begin{cases}
\xi = \Phi - \varphi \\
\eta = (\Lambda - \lambda) \cos{\varphi}
\end{cases}

与重力异常和重力扰动的关系
设 \mathbf{P} 点处测量得到的真实重力矢量为 \vec{\mathbf{g}}_P，而 \mathbf{Q} 点处计算得到的正常重力矢量为 \vec{\mathbf{\gamma}}_Q，则 \mathbf{P} 点处的重力异常矢量为：

:\Delta \vec{\mathbf{g}} = \vec{\mathbf{g}}_P - \vec{\mathbf{\gamma}}_Q

又设 \mathbf{P} 点处测量得到的正常重力矢量为 \vec{\mathbf{\gamma}}_P，则 \mathbf{P} 点处的重力扰动矢量为：

:\delta \vec{\mathbf{g}} = \vec{\mathbf{g}}_P - \vec{\mathbf{\gamma}}_P

重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 \mathbf{P}、\mathbf{Q} 两点的正常重力方向在同一条直线上。

与大地水准面高的关系
大地水准面高即为两点间的距离 PQ ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 \mathbf{P}，垂线偏差在此平面内的分量 \varepsilon 与大地水准面高 N 和大地水准面上的弧微分 \operatorname{d}\!s 存在如下几何关系：

:\tan \varepsilon = -\operatorname{d}\!N / \operatorname{d}\!s

习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的 -\operatorname{d}\!N 为负值。又因垂线偏差的分量 \varepsilon 是微小量，即 \varepsilon \rightarrow 0 ，因此上式也可写成：

:\varepsilon = -\operatorname{d}\!N / \operatorname{d}\!s \quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})

再以地球平均半径 R 替代点 \mathbf{P} 在各法截面上的曲率半径，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

:{\operatorname{d}\!s}^2 = R^2 {\operatorname{d}\!\varphi}^2 + R^2 {\cos}^2{\varphi}^2 {\operatorname{d}\!\lambda}^2

分别取垂直面分别与子午圈平行（即 \operatorname{d}\!\lambda = 0 ）和与卯酉圈平行（即 \operatorname{d}\!\varphi = 0 ），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：

:\begin{cases}
\xi = -\frac{1}{R}{\partial N \over\partial \varphi} \\
\eta = -\frac{1}{R \cos \varphi}{\partial N \over\partial \lambda}
\end{cases}

参见

• 法线
• 铅垂线
• 参考椭球面
• 大地水准面
• 重力异常
• 重力扰动

参考文献