拋物線坐標系（）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。
實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。
二維拋物線坐標系
直角坐標 (x,\ y) 可以用二維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 表示為
:x = \pm\,\sigma \tau 、
:y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) ；
其中，\sigma\ge 0 ，\tau\ge 0 。
反算回來，二維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 可以用直角坐標 (x,\ y) 表示為
:\sigma=\sqrt{ - y +\sqrt{x^2+y^2}} 、
:\tau=\sqrt{y +\sqrt{x^2+y^2}} 。
坐標 \sigma 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：
:2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2} ，
而坐標 \tau 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：
:2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2} 。
這些拋物線的焦點的位置都在原點。
二維標度因子
拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 的標度因子相等：
:h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} 。
因此，面積的無窮小元素是
:dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau 。
拉普拉斯算子是
:\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
\left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) 。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\sigma,\ \tau) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。
三維拋物線坐標系
。紅色的拋物曲面的坐標 \tau=2 。藍色的拋物曲面的坐標 \sigma=1 。黃色的半平面的坐標 \phi= - 60^\circ 。三個面相交於點 \mathbf{P}= (1.0, -1.732, 1.5) （以黑色小球表示）。]]
將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 (x,\ y,\ z) 可以用三維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 表示為
:x=\sigma\tau\cos\phi 、
:y=\sigma\tau\sin\phi 、
:z=\frac{1}{2}\left(\tau^{2} - \sigma^{2}\right) ；
其中，\sigma\ge 0 ，\tau\ge 0 ，方位角 \phi 定義為
:\tan \phi = \frac{y}{x},\qquad 0\le \phi\le 2\pi 。
反算回來，三維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 表示為
:\sigma=\sqrt{ - z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 、
:\tau=\sqrt{z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 、
:\phi =\tan^{ - 1}\frac{y}{x} 。
每一個 \sigma-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：
:2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2} ，
而每一個 \tau>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：
:2z = - \frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2} 。
這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。
三維標度因子
三維標度因子為：
:h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2} 、
:h_{\tau} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2} 、
:h_{\phi} = \sigma\tau\, 。
我們可以觀察出，標度因子 h_{\sigma} ， h_{\tau} 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是
:dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi 。
拉普拉斯算子是
:\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}
。
其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。
第二種表述
另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．
採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：
: \eta ={ - z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 、
: \xi ={z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 、
: \phi =\arctan {y \over x} 。
假若 \phi=0 ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 x\ge 0 的 +xz-半平面：
: \eta = - z + \sqrt{ x^2 + z^2} 、
: \xi =z + \sqrt{ x^2 + z^2} 。
假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \eta 是一個常數，\eta=c ，則
: \left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2} 。
這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。
假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \xi 是一個常數，\xi=b ，則
: \left. z \right|_{\xi = b} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b} 。
這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。
思考任何一條向上的拋物線 \eta=c 與任何一條向下的拋物線 \xi=b ，我們想要求得兩條曲線的相交點：
: {x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b} 。
稍微計算，可得
:x=\sqrt{bc} 。
將相交點的横坐標 x 代入向上的拋物線的公式，
:z_c= {bc\over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2} 。
所以，相交點 P 坐標為 \left(\sqrt{bc},\ {b - c \over 2}\right) 。
思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為
:\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c 。
向下的拋物線的切線的斜率為
:{dz_b\over dx}= - {x \over b}= - \sqrt{c\over b}= s_b 。
兩個斜率的乘積為
:s_c s_b= - 1 。
所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。
假設 \phi\ne 0 。讓 \phi 值從 0 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 \phi 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：
: x = \sqrt{\eta\xi}\ \cos \phi 、
: y = \sqrt{\eta\xi}\ \sin \phi 、
: z =\frac{1}{2}(\xi - \eta) 。
參考文獻
*
*
*
*
*
*
评论 (0)