初值問題

在數學裏，初值問題（，IVP）是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值，最常見的是常微分方程的初值问题 。

以下是一些初值問題的例子：
: y' = 0.85 y,\qquad y(0) = 19
:\dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3

定義
一個初值問題涉及微分方程式
:y'(t)=f(t,\ y(t))\quad\text{with}\quad f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\! ，

與在 f\,\! 的定義域內的一點
:(t_0,\ y_0) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\! 。

這在 f\,\! 的定義域內的點 (t_0,\ y_0)\,\! 稱為初始條件。

*假若初值問題的一個解是函數 y\,\! ，則 y\,\! 是微分方程式 y'(t) = f(t,\ y(t))\,\! 的解，滿足 y(t_0) = y_0\,\! 。
*對於更高階的問題，可視 \mathbf{y}\,\! 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 \mathbf{y}\,\! 。

解的存在性及唯一性
對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。

若ƒ在一個包括t0及y0的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。

此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。

較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。

日本數學家找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。

有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。

範例
;例一
一個簡單的範例是求解y' = 0.85 y及y(0) = 19，要求出一個y(t)滿足上述二式。

由於y' = \frac{dy}{dt}，因此

: \frac{dy}{dt} = 0.85 y

接下來重新整理方程式，使y在等式左邊，t在等式右邊

: \frac{dy}{y} = 0.85dt

再將等式二邊積分，會引入未知常數B

: \ln | y | = 0.85t + B

消去\ln

: | y | = e^Be^{0.85t}

令C為一個新的未知常數，C = \pm e^B，因此

: y = Ce^{0.85t}

現在需要找出C的數值。利用y(0) = 19的啟始條件，將t代入0，y代入19

: 19 = C e^{0.85 * 0}
: C = 19

因此可得其解為 y(t) = 19e^{0.85t}.

;例二
: \dot y+3y=6t+5,\qquad y(0)=3

利用拉普拉斯变换
: sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \frac{6}{s^2} + \frac{5}{s}
: \therefore Y(s) = \frac{y(0)s^2 + 5s + 6}{s^{2}(s+3)}

利用部分分式分解
: Y(s) = \frac{\alpha}{s} + \frac{\beta}{s^2} +\frac{\gamma}{s+3}
: \alpha=1,\beta=2,\gamma=y(0)-1
: Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2} +\frac{y(0)-1}{s+3}

拉普拉斯逆變換
: y(t)=2e^{-3t}+2t+1 \,
參閱
*邊值問題
*柯西问题
*積分常數
*諾頓穹頂

參考資料