偏近點角

偏近點角 (Eccentricity Anomaly) 是在軌道上的天體現在的位置投影在垂直於橢圓半長軸的外接圓上，並從橢圓的中心量度和近拱點（）方向之間的角度。在下圖中的標示為E（角zcx）。

計算
在太空動力學，偏近點角E可以由下式計算得到：

:E=\arccos {{1-\left | \mathbf{r} \right | / a} \over e}

此處：
\mathbf{r}\,\!是軌道上天體的位置向量。(線段sp*),
a\,\!是軌道的半長軸（線段cz*），和
*e\,\! 是軌道的離心率。

對平近點角M，E和M的關係是：

:M = E - e \cdot \sin{E}.\,\!

這個方程式可以重新解出，從E_0 = M開始，並使用E_{i+1} = M + e\,\sin E_i的關係。

將這個方程式的e以級數展開，當e 時，最初的幾項是：
*E_1 = M + e\,\sin M
*E_2 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M
*E_3 = M + e\,\sin M + \frac{1}{2} e^2 \sin 2M

• \frac{1}{8} e^3 (3\sin 3M - \sin M).

還有其他更有效率的解決方法，可以作為推導的參考（參見Murray and Dermott ，1999, p.35），詳細的推導過程和e在數學上的極限值可以參考Plummer (1960, section 46)。

對真近點角T，E和T的關係是：

:\cos{T} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cdot \cos{E}}}

或相等於

:\tan{T \over 2} = \sqrt{{{1+e} \over {1-e}}} \tan{E \over 2}.\,

半徑（位置向量大小）和近點角的關係是：

:r = a \left ( 1 - e \cdot \cos{E} \right )\,\!

和

:r = a{(1 - e^2) \over (1 + e \cdot \cos{T})}.\,\!

相關條目
*开普勒定律
*平近點角
*真近點角

參考資料
Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics*, Cambridge University Press, Cambridge.
Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy*, Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)