改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。
韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

原理
韋格納分佈的數學定義
: W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty} X(f+\eta/2)\cdot X^(f-\eta/2)e^{j2\pi t\eta}\cdot d\eta
改進型韋格納分佈的數學定義
為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。
*定義一：: W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau/2)w^(-\tau/2)x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau
:，其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 w(t)=\begin{cases} 1 \ \ \ if\ |t|
*定義二：: W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)Y(t,f+\theta/2)Y^(t,f-\theta/2)d\theta
， 其中 Y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau)x(t+\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau； P(\theta)\, 類似遮罩函數，
:P(\theta)\approx1\ ， 當θ很小
:P(\theta)\approx0\ ， 當θ很大
:適當地選擇P(\theta)\approx1\ 的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。
:* 定義三：W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau)x^L(t+\tfrac{\tau}{2L})\cdot \overline{x^L(t-\tfrac{\tau}{2L})}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau
:增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)
:
: 定義四：W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau
:當 q = 2 和 d_{l} = d_{-l} = 0.5，就是原本的韋格納分佈。
:當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term)
:然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。
::
::定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)
::::W_x(t,f)
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau} \ e^{-j2\pi\tau f} d\tau
= \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau
::If x(t) = e^{j2\pi \sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n} }
::所以 d_\ell 必須要能滿足下面的式子：
::::
e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2} + 1} n a_n t^{n-1} \tau}
= \prod_{\ell=1}^{q/2}x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)
::::W_x(t,f)
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1})n a_n t^{n-1} \tau} d\tau
\cong \delta(f-\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1} \tau)
::其中 \sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}n a_n t^{n-1}為 x(t) 的瞬時頻率
::接下來，我們來看 d_\ell 要怎麼設定：
::(1) 當 q = 2 的時候： x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)
= e^{j2\pi \sum_{n=1}^{2}n a_n t^{n-1} \tau}
::如果我們把 x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}代入，可以得到下列式子：
::::a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau) - a_2(t-d_{-1}\tau) - a_1(t-d_{-1}\tau) = 2 a_2 t \tau +a_1\tau
::::\begin{cases} d_1 + d_{-1} = 1 \\ d_1 - d_{-1} = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} d_1 = \tfrac{1}{2} \\ d_{-1} = \tfrac{1}{2} \end{cases}
::由此可以知道，當 q = 2 並且 d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2} 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同
::::W_x(t,f)
= \int_{-\infty}^{\infty} [\prod_{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau)x^*(t-d_{-l}\tau)]e^{-j2\pi \tau f}d\tau
= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau ,
\quad if \quad q = 2 ,\ d_{-1} = d_1 = \tfrac{1}{2}
::(2) 當 q = 4 的時候： x(t+d_\ell\tau)x^*(t-d_{-\ell}\tau)
= e^{j2\pi \sum_{n=1}^{3}n a_n t^{n-1} \tau}
::如果我們把 x(t) = e^{j2\pi\sum_{n=1}^{\tfrac{q}{2}+1}a_nt^n}代入，可以得到下列式子：
::::a_3(t+d_1\tau)^3 + a_2(t+d_1\tau)^2 + a_1(t+d_1\tau)
a_3(t+d_2\tau)^3 + a_2(t+d_2\tau)^2 + a_1(t+d_2\tau)
-a_3(t+d_{-1}\tau)^3 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_1(t+d_{-1}\tau)
-a_3(t+d_{-2}\tau)^3 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2 - a_1(t+d_{-2}\tau)

::::= 3 a_3 t^2 \tau + 2 a_2 t \tau +a_1\tau
::::\begin{cases} a_3(t+d_1\tau)^3 + a_3(t+d_2\tau)^3 -a_3(t+d_{-1}\tau)^3 -a_3(t+d_{-2}\tau)^3
\\a_2(t+d_1\tau)^2 + a_2(t+d_2\tau)^2 - a_2(t+d_{-1}\tau)^2 - a_2(t+d_{-2}\tau)^2
\\a_1(t+d_1\tau) + a_1(t+d_2\tau) - a_1(t+d_{-1}\tau) - a_1(t+d_{-2}\tau) \end{cases}
= \begin{cases} 3 a_3 t^2 \tau \\ 2 a_2 t \tau \\ a_1\tau \end{cases}

::所以我們可以得到
::::\begin{cases} d_1 + d_2 +d_{-1} + d_{-2} = 1
\\ {d_1}^2 + {d_2}^2 - {d_{-1}}^2 - {d_{-2}}^2 = 0
\\ {d_1}^3 + {d_2}^3 + {d_{-1}}^3 + {d_{-2}}^3 = 0 \end{cases}
::可以看到如果 q 太大，d_\ell 會不好設計。
:

性能表現
在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。

x(t)=\begin{cases} \cos(3\pi t) \ \ \ t\le-4 \\ \cos(6\pi t)\ \ \ -44 \end{cases}

:左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。

x(t)=\exp(j \cdot(t-5)^3-j \cdot 6 \pi \cdot t)

:左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。
同時參閱
*信號處理
*時頻分析
*短時距傅立葉變換

參考資料
*Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
*L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
*Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
*Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.