科恩系列分佈

科恩系列分佈（Cohen's class distribution）於1966年由L. Cohen首次提出，且其使用雙線性轉換亦是此種轉換形式中最通用的一種。在幾種常見的時頻分佈中，Cohen's class分佈是最強大的轉換之一。隨著近幾年來時頻分析發展，應用也越來越多元。Cohen's class分佈和短時距傅立葉變換比較起來有較高的清晰度，但也相對的有交叉項(cross-term)的問題，不過可選擇適當的遮罩函數(mask function)來將交叉項的問題降到最低。

數學定義
:C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau, ，

:其中 A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta}\, dt. 為模糊函數(Ambiguity Function) ，且\Phi \left(\eta,\tau \right)為一遮罩函數，通常是低通函數用來濾除雜訊。

科恩系列分佈函數
韋格納分布(Wigner Distribution Function)
:當Cohen's class分佈中的\Phi \left(\eta,\tau \right)=1時，Cohen's class分佈會成韋格納分布(Wigner distribution function)W_x(t, f)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau /2)x^*(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau}\, d\tau。

:利用韋格納分佈對函數x(t)=exp(j0.015t^4+j0.06t^3-j0.3t^2+jt)作時頻分析的結果可見右圖。

錐狀分布(Cone-Shape Distribution)
:當Cohen's class分佈中的\phi(t,\tau)=\frac{1}{\left|\tau\right|}exp(-2\pi\alpha\tau^2)\Pi(\frac{t}{\tau})，且\Phi \left(\eta,\tau \right)=sinc(\eta\tau)exp((-2\pi\alpha\tau^2)時，

:其中\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta，Cohen's class分佈會成錐狀分布。

:右圖為不同的\alpha值下的錐狀分佈時頻分析圖。

喬伊-威廉斯(Choi-Williams)
:當Cohen's class分佈中的\Phi \left(\eta,\tau \right)=exp[-\alpha(\eta\tau)^2]時，Cohen's class分佈會成喬伊-威廉斯分布。

:右圖為不同的\alpha值下的錐狀分佈時頻分析圖。

科恩系列分佈優缺點
:優點:

::1.可選擇適當的遮罩函數來避免掉交叉項問題 。

::2.具有高清晰度。

:缺點

::1. 需要較高的計算量與時間。

::2. 缺乏良好的數學特性。

科恩系列分佈的實現
:C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}A_x(\eta,\tau)\Phi(\eta,\tau)\exp (j2\pi(\eta t-\tau f))\, d\eta\, d\tau,

:::=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta

簡化方法一:不是所有的A_x(\eta,\tau)的值都要計算出
:對\ \left|\eta\right|>B\ 或\ \left|\tau\right|>C，若\Phi(\eta,\tau)=0，則C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-B}^{B}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi u\eta+j2\pi(\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta

簡化方法二:注意，\eta這個參數和輸入及輸出都無關
:C_x(t, f)=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})[\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta]e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau

:::=\int_{-C}^{C}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\Phi(\tau,t-u)e^{-j2\pi\tau,f}dud\tau，其中

:\Phi(\tau,t-u)=\int_{-B}^{B}\Phi(\eta,\tau)e^{-j2\pi,\eta(t-u)}d\eta，由於\Phi(\tau,t-u)和輸入無關，可事先算出，因此可簡化成兩個積分式。

簡化方法三:使用摺積方法(convolution)
:C_x(t, f)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau，其中

:\phi(t,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\eta,\tau)exp(j2\pi\eta t)d\eta。對\left|t\right|>b或是\left|\tau\right|>c，則

:C_x(t, f)=\int_{-c}^{c}\int_{t-b}^{t+b}x(u+\frac{\tau}{2})x^*(u-\frac{\tau}{2})\phi(t-u,\tau)due^{-j2\pi f\tau}d\tau，上式為一摺積式。

模糊函數 (Ambiguity Function)
模糊函數的定義為：

::A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt

Modulation 和 Time Shifting 對模糊函數的影響
我們來看一下 x(t) 對於模糊函數的影響

(1) 假設 x_1(t) 是一個高斯函數: a e^{-(t-b)^2 /2c^2}, 其中 a = 1, b = 0, c = \sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}}

那麼我們可以得到 x_1(t) = e^{ -\alpha\pi t^2}, 代入模糊函數 A_x\left(\eta,\tau \right) 中：

::A_{x_1}\left(\eta,\tau \right) =
\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2})}^2}
\ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2})}^2}
\ e^{-j2\pi t\eta }
\ dt

:::::=
\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
e^{-\alpha\pi(2t^2+{\tfrac{\tau}{2}}^2) }
\ e^{-j2\pi t\eta }
\ dt

(2) 假設 x_2(t) 是一個經過 shifting 和 modulation 的高斯函數:

那麼我們可以得到 x_2(t) = e^{ -\alpha\pi (t-t_0)^2 + j2\pi f_0 t}, 代入模糊函數 A_x\left(\eta,\tau \right) 中：

::A_{x_2}\left(\eta,\tau \right) =
\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
e^{-\alpha\pi {(t+\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 + j2\pi f_0 (t+\tfrac{\tau}{2})}
\ e^{-\alpha\pi {(t-\tfrac{\tau}{2} -t_0)}^2 - j2\pi f_0 (t-\tfrac{\tau}{2})}
\ e^{-j2\pi t\eta }
\ dt

:::::=
\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
e^{-\alpha\pi(2(t-t_0)^2+{\tau/2}^2) +j2\pi f_0\tau}
\ e^{-j2\pi t\eta }
\ dt

:::::=
\textstyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
e^{-\alpha\pi(2t^2+\tfrac{\tau ^2}{2}) }
\ e^{j2\pi f_0\tau}
\ e^{-j2\pi t\eta }
\ e^{-j2\pi t_0\eta }
\ dt

我們可以看到 |A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)| = |A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|,

因此我們可以得出 time shifting t_0 和 modulation f_0 並不會影響 |A_{x} \left(\tau,\eta \right)|

積分後，A_x \left(\tau,\eta \right)=
\sqrt{\tfrac{1}{2\alpha}}
e^{-\pi(\tfrac{\alpha \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha}) }
e^{j2\pi (f_0\tau - t_0 \eta)}

所以 A_x \left(\tau,\eta \right)
在 \tau = 0, \eta = 0
的地方會有最大的 |A_x \left(\tau,\eta \right)|

交叉項 Cross-term 問題
上述所列出來的是當 x(t) 只有一項而已 (one term only)，如果 x(t) 有兩項以上的元素構成 (more than two terms), x(t) = x_1(t) + x_2(t) +\cdot\cdot\cdot+x_n(t)，依然會有交叉項 (cross-term) 的問題存在。

假設 x(t) = x_1(t) + x_2(t) , 其中

::\begin{cases} x_1(t) = e^{-\alpha_1 \pi (t-t_1)^2 + j2\pi f_1 t} \\ x_2(t) = e^{-\alpha_2 \pi (t-t_2)^2 + j2\pi f_2 t} \end{cases}

將 x(t)
代入模糊函數 A_x\left(\eta,\tau \right)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tfrac{\tau}{2})x^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt 中：

::A_x\left(\eta,\tau \right)=
\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_1}(\tau,\eta)}

• \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{x_2}(\tau,\eta)}

:::::+ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t+\tfrac{\tau}{2})x_2^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)}

• \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}x_2(t+\tfrac{\tau}{2})x_1^*(t-\tfrac{\tau}{2})e^{-j2\pi t\eta}\, dt}_{A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)}

::其中 \begin{cases} Auto-terms: \quad A_(\tau,\eta) , \ A_(\tau,\eta) \\ Cross-terms: \ A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , \ A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) \end{cases}

::

Auto - terms
::A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)=
\sqrt{\tfrac{1}{2 \alpha_1}}
\ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_1 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_1}) }
\ e^{j2\pi (f_1\tau - t_1 \eta)}

::A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)=
\sqrt{\tfrac{1}{ 2 \alpha_2}}
\ e^{-\pi(\tfrac{\alpha_2 \tau ^2}{2} + \tfrac{\eta ^2}{2 \alpha_2}) }
\ e^{j2\pi (f_2\tau - t_2 \eta)}

Cross - terms
(1) \alpha_1 \neq \alpha_2

::A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) = \sqrt{\tfrac{1}{ {(\alpha_1 + \alpha_2)}}}
\ e^{-\pi (\tfrac{(\alpha_1 + \alpha_2)(\tau - t_1+t_2)^2}{4} \ + \ \tfrac{[(\alpha_1 - \alpha_2)(\tau-t_1+t_2)-j2(\eta - f_1+f_2)]^2}{4(\alpha_1 + \alpha_2)} )}
\ e^{j2\pi [ (\tfrac{f_1 + f_2}{2})\tau - \tfrac{t_1 + t_2}{2}\eta + \tfrac{(f_1 - f_2)(t_1+t_2)}{2}]}

::::::= \sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} }
\ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{[\alpha_d (\tau-t_d)-j2(\eta - f_d)]^2}{8 \alpha_u} )}
\ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}

::
::

::A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)

::\begin{cases} t_u = \tfrac{t_1+t_2}{2}, \ f_u = \tfrac{f_1+f_2}{2}, \ \alpha_u = \tfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}
\\ t_d = t_1 - t_2, \ f_d = f_1 - f_2, \ \alpha_d = \alpha_1 - \alpha_2
\end{cases}

(2) \alpha_1 = \alpha_2

::A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) =
\sqrt{ \tfrac{1}{ 2 \alpha_u} }
\ e^{-\pi (\tfrac{\alpha_u (\tau - t_d)^2}{2} \ + \ \tfrac{(\eta-f_d)^2}{2 \alpha_u} )}
\ e^{j2\pi (f_u\tau - t_n\eta + f_dt_u)}

::A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta) = A_{{x_1}{x_2}}^*(-\tau,-\eta)

因此，我們目前得到 A_{x_1} \left(\tau,\eta \right) , A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)
(auto-terms) 和 A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta) , A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)

(cross-terms) 的公式，我們再仔細的分析 auto-terms 和 cross-terms 分別發生最大值的位置。

首先，先看 Auto-terms：
::|A_{x_1} \left(\tau,\eta \right)|
最大值發生在 \tau = 0 , \eta = 0
的地方
::|A_{x_2} \left(\tau,\eta \right)|
最大值發生在 \tau = 0 , \eta = 0
的地方
而 Cross-terms：
::|A_{{x_1}{x_2}}(\tau,\eta)|
最大值發生在 \tau = t_d , \eta = f_d
的地方
::|A_{{x_2}{x_1}}(\tau,\eta)|
最大值發生在 \tau = -t_d , \eta = -f_d
的地方
換句話說，如果我們繪製一個 x軸為 \tau
, y軸為 \eta
的座標圖，Auto-terms發生在原點 (0,0)
的位置，而 Cross-terms 則是以原點為對稱中心，在第一象限和第三象限的位置，

這也是為什麼可以透過一個低通函數來濾除雜訊，把主成分 Auto-terms 分離出來，避免交叉項的問題。

與 維格納分布 Wigner Distribution Function 的不同
維格納分布是由尤金·維格納於 1932 年提出的新的時頻分析方法，對於非穩態的訊號有不錯的表現。

相較於傅立葉轉換或是短時距傅立葉轉換，維格納分布能有比較好的解析能力。

維格納分布的定義為:

::W_x(t,f)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t+\frac{\tau}{2})x^*( t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi\tau f}\, d\tau

如果我們假設 x(t) 是一個具有弦波特性的訊號, x(t) = e^{j2\pi f_0 t}

那麼將此 x(t) 代入維格納分布中，

::W_x(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0(t+\tfrac{\tau}{2})}
e^{-j2\pi f_0(t-\tfrac{\tau}{2})}
\ e^{-j2\pi \tau f}
\ d\tau

:::::= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j2\pi f_0\tau}
\ e^{-j2\pi \tau f}
\ d\tau

:::::= \int_{-\infty}^{\infty}
e^{-j2\pi \tau (f-f_0)}
d\tau

:::::= \delta(f-f_0)

所以當 x(t) = e^{j2\pi f_0 t} 時，W_x(t,f) 在 f = f_0 的地方會有最大值。

換句話說，當 x(t) 有 modulation f_0 或是有 time shifting t_0 的情況發生時，會影響維格納分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 |W_x(t,f)| 的位置

然而，對於科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting t_0 和 modulation f_0 並不會影響 |A_{x} \left(\tau,\eta \right)|

參考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.