(b)。]]
半長軸（長半軸）是幾何學中圓錐曲線最長的半徑或長軸的一半，因此是從中心穿過焦點到到周邊的最長線段。而長軸（或主軸）是幾何學中橢圓最長的直徑：是一條貫穿中心和焦點，末端位於周邊中相距最遠的兩個點的線段。橢圓或雙曲線的半短軸是一條與半長軸處於直角的線段，並且一端位於圓錐截面的中心。對於圓的特殊情況，半軸的長度都等於圓的半徑。
橢圓的半長軸的長度通過離心率和圓錐參數\ell與半短軸的長度有關，如下所示：
{{block indent|\begin{align}
b &= a \sqrt{1 - e^2}, \\
\ell &= a (1 - e^2), \\
a \ell &= b^2.
\end{align}}}
根據定義，雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的正負二分之一。因此，它是從中心到雙曲線的頂點的距離。
拋物線可以作為橢圓序列的極限，其中一個焦點保持固定，而另一個焦點可以沿一個方向任意移動，保持\ell固定。因此和 趨於無窮大，比快。
長軸和短軸是曲線的對稱軸：在橢圓中，短軸較短；在雙曲線中，它與雙曲線不相交。
橢圓
橢圓的方程式是:
{{block indent|\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1,}}
其中(h, k)是笛卡尔坐标系中橢圓的中心，其中任意點由(x, y)給出。
半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離r_\text{max}和r_\text{min}的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離
{{block indent|a = \frac{r_\text{max} + r_\text{min}}{2}.}}
在天文學中，這些極值點稱為拱點。
一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，會通過中心和兩個焦點，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。
半長軸的長度 a\! 與半短軸 b\,\! 的關係可以經由離心率e\,\!和半正焦弦\ell\,\!推導如下：
:b = a \sqrt{1-e^2}\,\!
:\ell=a(1-e^2)\,\!.
:a\ell=b^2\,\!.
抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但\ell\,\!仍保持不變。因此a\,\!和b\,\!趨於無限大，a\,\!仍比b\,\!長。
半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上，
:r(1-e\cos\theta)=l\,\!.
均值由r={\ell\over{1+e}}\,\!和r={\ell\over{1-e}}\,\!，是 a={\ell\over{1-e^2}}\,\!.
雙曲線（又称半实轴）
雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：
\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1
在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：
a={\ell\over e^2-1 }
雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致。
天文學
軌道週期
在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期T，是：
:T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}
此處：
:a，是軌道的半長軸
: \mu是標準重力參數
無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。
在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：
:T^2 \propto a^3，
此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：
:T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3，
此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。
值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。
平均距離
經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。
- 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
- 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：b = a \sqrt{1-e^2}\,\!。
- 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：a(1 + \frac{e^2}{2})\,\!。
橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}\,\!。
時間的平均值與半徑成反比，r^{-1}\,\!，是a^{-1}\,\!。
能量：由狀態向量的半長軸計算
在太空動力學半長軸a ，可以從軌道狀態向量得到：
a = { - \mu \over {2\epsilon}}（橢圓軌道）
a = {\mu \over {2\epsilon}}（雙曲線彈道）
\epsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |} （特殊軌道能量）
\mu = GM （標準重力參數）
此處：
- v，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，
- \mathbf{r }，是在笛卡尔坐标系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準），
- G ，是重力常數，
- M ，是中心天體的質量。
對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。
例子
國際太空站的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。
外部連結
- [http://www.mathopenref.com/ellipsesemiaxes.html Semi-major and semi-minor axes of an ellipse] With interactive animation
參考資料
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