列維-奇維塔符號（），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 ，它以 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。
列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 或 ，較不常見的也有以拉丁文小寫 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列：
:\varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}
其中每個下標指標 取值介乎 到 。在 中，共有 個指標排列，可以排成為一個 維陣列。
當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 ：
:\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_p \cdots }=0；
當全部指標都不相等時，我們定義：
:\varepsilon_{a_1 a_2 \cdots a_n} = (-1)^p \varepsilon_{1 2 \cdots n}，
其中 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 變換成自然次序 ，所需的對換次數。而因子 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 作為自然次序的值：
:\varepsilon_{12\cdots n}=+1 。
在本文中，也將使用這個定義。
從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號：
:\varepsilon_{\cdots a_p \cdots a_q \cdots }=-\varepsilon_{\cdots a_q \cdots a_p \cdots }。
這稱為「完全反對稱性」。
“ 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 的 或閔可夫斯基空間的 。
列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。
列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。
定義
列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。
二維
在二維中，列維-奇維塔符號定義如下：
:
這些值可以排列成 反對稱矩陣：
:\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。
三維
三維以上的列維-奇維塔符號更常使用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下：
:
也就是說，如果 是 的偶排列，則符號值為 。如果是奇排列，則符號值為 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 。
僅在三維中， 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 是 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。
類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 陣列：
:
其中 是深度 (: ; : ; : ) ， 是橫行， 是直列。
以下是一些例子：
:\begin{align}
\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} &= - 1 \\
\varepsilon_{ \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1 \\
\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3} \color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{ \color{Orange}{2} \color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} &= 0
\end{align}
四維
在四維中，列維-奇維塔符號定義如下：
:
這些值可以排成 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。
以下是一些例子：
:\begin{align}
\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= - 1\\
\varepsilon_{\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}} &= -1\\
\varepsilon_{\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}} &= -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{Violet}{3}\color{RedViolet}{4}}) = 1\\
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} = -\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{Orange}{\color{Orange}{2}}\color{RedViolet}{4}\color{Violet}{3}} &= 0
\end{align}
推廣到高維
更一般地推廣到 維中，則列維-奇維塔符號的定義為：
又可使用求積符號 表達為：
: \begin{align}
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i
其中的 是符號函數，根據 的正負給出 、 或 。該公式對對於任何 及任何指標排列都有效（當 或 時，定義為空積 ）。
然而，計算以上公式的時間複雜度為 ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 。
兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：
: \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \begin{vmatrix}
\delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\
\delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\
\delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\end{vmatrix}
應用和範例
行列式
在线性代数中， 的方陣 ：
: A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}，
其行列式可以寫為：
:\det(A) = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \,a_{1i} \, a_{2j}\, a_{3k}，
類似地， 矩陣 的行列式可以寫為：
: \det(A) = \sum_{a_1,a_2,\cdots,a_n=1}^n \varepsilon_{a_1a_2\cdots a_n}\, a_{1a_1}\,a_{2a_2}\, \cdots\, a_{na_n},
向量的叉積
對於向量 與 ，它們的叉積：
:
\boldsymbol a \times\boldsymbol b =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_ib_j\, \boldsymbol e_k
對於向量 、 與 ，它們的三重積：
:
\boldsymbol a \cdot (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{vmatrix}
= \sum_{1\leq i,j,k\leq 3} \varepsilon_{ijk}\,a_i b_j c_k
性質
由列維-奇維塔符號給出（共變等級為）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。
根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。
由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。
在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。
在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。
在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成：
:\varepsilon^{ij\dots k} = \varepsilon_{ij\dots k} .
在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。
使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如，
:\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn} \equiv \sum_{i=1,2,3} \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}.
以下的例子使用愛因斯坦標記法。
二維
在二維上，當所有i ，j ，m ，n 各取值1和2時，
{{NumBlk|: | \varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = {\delta_i}^m {\delta_j}^n - {\delta_i}^n {\delta_j}^m |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = {\delta_j}^n |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2. |}}
三維
指標和符號值
在三維中，當所有i ，j ，k ，m ，n 各取值1,2和3時：
{{NumBlk|: | \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{jmn} \varepsilon^{imn}=2{\delta_j}^i |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{ijk}=6. |}}
乘積
列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）：
:\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} &= \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\
\end{vmatrix} \\[6pt]
&= \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right).
\end{align}
這個結果的一個特例是():
:\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。
在愛因斯坦標記法中，i 指標的重複表示對於i 的求和。由此，上述結論可表記為：
:\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
進一步可以知道：
:\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}
**'維
指標和符號值
在維中，當所有i_1,\ldots,i_n,j_1,\ldots,j_n take values1,2,\ldots,n ：
{{NumBlk|: | \varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n} |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1} \dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1} \dots j_n} = k!(n - k)!~\delta_{[ i_{k+1}}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n} |}}
{{NumBlk|: | \varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! |}}
驚嘆號(! )代表階乘，而\delta^{\alpha\ldots}_{\beta\ldots} 是廣義克罗内克函数，對於任意有屬性：
:\sum_{i, j, k, \dots = 1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!
從以下事實可得出：
*每個排列是偶排列或奇排列，
*(+1)^2=(-1)^2=1 ，與
*任何-元素集合的排列數正好是n! 。
乘積
一般來說，對於維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成：
:
\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\
\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix}
證明
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