南部-后藤作用

南部-后藤作用量是玻色弦理论中最简单的作用量之一。这个作用量以南部阳一朗和後藤鉄男（）这两个日本物理家的名字命名。

南后作用量等于世界面的面积：

\mathcal{S}
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 A
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{-g}
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma
\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}.

狭义相对论的作用量
若

:-ds^2 = -(c \, dt)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \

相对论的作用量是下面的泛函：

:S = -mc \int ds.

最小作用量原理说经典方程说泛函导数等于0：\delta S = 0.
量子相对论用泛函积分 Z = \int \exp(iS)

世界面
设时空是d+1维的：

:x = (x^0, x^1, x^2, \ldots, x^d).

(\tau, \sigma)是世界面的参数。

:X (\tau, \sigma) = (X^0(\tau,\sigma), X^1(\tau,\sigma), X^2(\tau,\sigma), \ldots, X^d(\tau,\sigma)).

设 \eta_{\mu \nu} 是 (d+1)维时空的距离函数，则

: g_{ab} = \eta_{\mu \nu} \frac{\partial X^\mu}{\partial y^a} \frac{\partial X^\nu}{\partial y^b} \

是世界面的距离函数。 a,b = 0,1 而 y^0 = \tau, y^1 = \sigma 。世界面的面积 \mathcal{A} 是

: \mathrm{d} \mathcal{A} = \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{-g}

其中\mathrm{d}^2\Sigma = \mathrm{d}\sigma \, \mathrm{d}\tau ， g = \mathrm{det} \left( g_{ab} \right) \ 。若

:\dot{X} = \frac{\partial X}{\partial \tau}

:X' = \frac{\partial X}{\partial \sigma},

则距离函数 g_{ab} 是

: g_{ab} = \left( \begin{array}{cc} \dot{X}^2 & \dot{X} \cdot X' \\ X' \cdot \dot{X} & X'^2 \end{array} \right) \
: g = \dot{X}^2 X'^2 - (\dot{X} \cdot X')^2

南后作用
南后作用是

:\mathcal{S}
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 A
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{-g}
= -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma
\sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 - (\dot{X})^2 (X')^2}.

使用上文的距离函数

:\mathcal{S} = -\frac{1}{2\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma \sqrt{{\dot{X}} ^2 - {X'}^2},

或

:\mathcal{S} = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int \mathrm{d}^2 \Sigma ({\dot{X}}^2 - {X' }^2).

这是上文相对论作用量的二维推广。

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