ER随机图

在图论中，ER随机图（Erdős–Rényi random graph）是一种网络，以概率p连接N个节点中的每一对节点。ER随机图以埃尔德什·帕尔和（Alfréd Rényi）的名字命名。他们在1959年发明了这种模型。同年，Edward Gilbert独立提出了另外一个模型。
在Erdős-Rényi模型中，在顶点集数目相同时，具有固定边数的所有图均具有同等的概率出现。在吉尔伯特（Gilbert）引入的模型中，每个边都有固定的出现概率，并且独立于其他边的概率。这些模型可用于概率方法中，以证明满足各种属性的图的存在，或者对几乎所有图具有属性的含义提供严格的定义。

定义
ER随机图主要有两种高度相关的模型。
在G(n, M)模型中，确定的图从具有n个顶点和M条边的所有图集合中等概率随机选择。例如，在G(3, 2)模型中，具有三个顶点和两条边的图总共有3种，它们每一个都以1/3的概率出现在G(3, 2)中。当0 ≤ M ≤ N, G(n,M*) 总共有\tbinom{N}{M}种可能的确定图，每种图出现的概率是1/\tbinom{N}{M}。
在G(n, p)模型中，通过随机连接n个独立节点构造一个图，每条边出现的概率是p，且不同边存在与否互相独立。对于具有n个顶点和M条边的图，其出现的概率是p^M (1-p)^{{n \choose 2}-M}。由此，p越大，G*中出现边较多的图的概率会上升。

通常在顶点数n趋向于无穷大时研究随机图的性质和变化行为。尽管p或M可以为固定值，但它们也可以依赖n的取值。例如，G(n, 2ln(n)/n)中的每个图几乎都是连通图；随着n趋于无穷大，G(n, 2ln(n)/n)中几乎每个图都被连接。

两种模型的比较
G(n, p)的边数期望值为\tbinom{n}{2}p，因此根据大数定理，几乎所有G(n, p)模型中的图的边数都会有\tbinom{n}{2}p个。因此，一个粗略的想法是，如果pn2 → ∞，并且M=\tbinom{n}{2} p，那么随着n的增大，G(n,p)的变化行为应该与G(n, M)类似。

在pn2 → ∞假设的基础上，我们考虑一个图的单调性质P（这意味着，若A是B的子图，并且A拥有性质P,那么B也将拥有性质P）；那么“P对于几乎所有G(n, p)成立”等价于“P对于几乎所有G(n, M)成立”。但对于非单调的性质P，表述的等价性不一定成立。

事实上，G(n, p)模型是当今最常用的模型，部分原因是边存在的独立性简化了许多分析。

G(n,p)的性质
使用上面的符号，G(n, p)中的图边数的平均值是\tbinom{n}{2} p。任何特定顶点的度服从于二项分布：

: P(\deg(v) = k) = {n-1\choose k}p^k(1-p)^{n-1-k},

其中n是图中顶点的数目。因为
:P(\deg(v) = k) \to \frac{(np)^k \mathrm{e}^{-np}}{k!} \quad \text{ as } n \to \infty \text{ and } np = \text{constant},

此分布为泊松分布对于较大的n和常数np。

在1960年的论文中，Erdős和Rényi对于不同的p精准地描述了G(n, p)变化行为。这些结果包括：

若np* 2/3。
若np → c > 1，c为常数，那么G(n, p)中的一个图几乎必有唯一的包含结点有限部分的巨型连通分支，其他连通分支不会包含超过O(log(n*))个顶点。
若p，那么G(n, p*)中的一个图几乎必有孤立点，因此这个图是不连通的。
若p>\tfrac{(1+\varepsilon) \ln n} n，那么G(n, p*)几乎一定连通。

因此 \tfrac{\ln n} n是一个锋利阈值。

随着n趋于无穷大，G(n,p)可以几乎精确地描述图的其他属性。

渗流理论
完全图上的渗流理论是ER随机图，这也是一种平均场论。
参考文献