在拓扑学中，闭开集（）是拓扑空间中既是开集又是闭集的集合。雖然既「開」又「閉」的定義有些反直覺，但數學上開集與閉集的定義並不互斥。
如同拓撲學家詹姆士·雷蒙·芒克勒斯在他的書中所描述的，集合和門不同的是，「集合可以是打開的(open)，也可以是闔上的(closed)，或者既打開又闔上，又或是既不打開又不闔上！」強調現實中門的開閉與集合的開閉定義無關。
例子
*對任何拓扑空间X，空集和整个空间X都是闭开集，有時稱它們為平凡閉開集。
*存在非平凡閉開集。例如，離散空間的任意子集都是閉開集。
*考虑由两个区间[0,1]和[2,3]的并集构成的空间X。在X上的拓扑是从实直线\mathbb{R}上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在X中，集合[0,1]和[2,3]都是闭开集。这是非常典型的例子：只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
*不太常见的例子，考虑所有有理数的空间\mathbb{Q}带有它们的正常拓扑，和平方大于2的所有正有理数的集合A。利用\sqrt{2}不在\mathbb{Q}中的事实，可以非常容易的证明A是\mathbb{Q}的闭开子集。（还要注意A不是实直线\mathbb{R}的闭开子集；它在\mathbb{R}中既不是开集也不是闭集。）
性质
- 拓扑空间X连通当且仅当X中僅有的闭开集是空集和X本身。
- 集合是闭开集，当且仅当它的边界是空的。
- 任何闭开集是（可以无限多）连通单元的并集，它的逆命題不成立，因為連通單元一般不是開集。
- 如果X的所有连通单元是开集（例如，如果X只有有限多个单元，或者X是局部连通的），则集合是X中的闭开集，当且仅当它可以表示為连通单元的并集。
- 拓扑空间X是离散的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
- 使用并集和交集作为运算，给定拓扑空间X的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得：参见Stone布尔代数表示定理。
参见
*开集
*闭集
*門空間
註解
參考文獻
- James R. Munkres
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