中線

中線或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

性质1
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

证明
考虑三角形 ABC。设D为\overline{AB}的中点，E为\overline{BC}的中点，F为\overline{AC}的中点，O为重心。

根据定义，AD=DB, AF=FC, BE=EC，因此[ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO], [ABE]=[ACE]，其中[ABC]表示三角形ABC的面积。

我们有：

:[ABO]=[ABE]-[BEO]

:[ACO]=[ACE]-[CEO]

因此，[ABO]=[ACO]且[ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]。

由于[AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO]，所以[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]。
同理，也可以证明[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]。

性质2
在 \triangle ABC 中，連接角 A 的中線記為m_a，連接角 B 的中線記為m_b，連接角 C 的中線記為m_c，它們長度的公式為：

:m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}
:m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}
:m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}

證明
:在 \triangle ABD 中，AD=m_a
:(m_a)^2=(AB)^2+(BD)^2-2(AB)(BD)\cos \angle ABD（餘弦定理）
:以 a, b, c 表示\cos \angle ABD
:i.e.\ \cos \angle ABD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} & BD=\frac{a}{2}
:把以上兩等式代入原式，
:i.e.\ (m_a)^2=(c)^2+(\frac{a}{2})^2-2(c)(\frac{a}{2})\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
:=(c)^2+(\frac{a^2}{4})-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})
:=\frac{4c^2+a^2-2c^2-2a^2+2b^2}{4}
:=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}
:∴m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}
同理，可證得其他二式
:Q.E.D.

參見

• 中線定理
• 角平分線長公式