克劳修斯-克拉佩龙方程

克劳修斯-克拉伯龙方程（，亦稱為 Clausius-Clapeyron equation）是用于描述单组分系统在相平衡时氣壓随温度的变化率的方法，以鲁道夫·克劳修斯和埃米尔·克拉伯龙命名。

:\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\,\Delta V}

此处\mathrm{d}P/\mathrm{d}T是压强随温度的变化率，L是相变焓（潜热，指相變時吸收的能量），T是相平衡温度，\Delta V 是相变过程中的比容变化。

推导
从状态假设出发进行的推导
使用热力学状态假设，以s代表均质物质的比熵得出比容v和温度T的方程

:\mathrm{d} s = \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T \mathrm{d} v + \left(\frac {\partial s}{\partial T}\right)_v \mathrm{d} T.
在相变过程中，温度保持不变，于是，于是其中偏微分可以变成全微分，可以求得积分关系
:\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {L}{T \Delta v}
这是克拉佩龙方程。

从吉布斯-杜亥姆方程进行推导
假设两个相态\alpha和\beta相互关联且达到相平衡，则其化学势的关系为\mu_{\alpha} = \mu_{\beta}。沿着共存曲线，我们也可以得到\mathrm{d}\mu_{\alpha} = \mathrm{d}\mu_{\beta}。现在用吉布斯-杜安方程\mathrm{d}\mu = M(-s\mathrm{d}T + v\mathrm{d}P)，其中s和v分别是比熵和比容，M是摩尔质量，可得到
:-(s_{\beta}-s_{\alpha}) \mathrm{d}T + (v_{\beta}-v_{\alpha}) \mathrm{d}P = 0. \,
因此，整理后得到
:\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{s_{\beta}-s_{\alpha}}{v_{\beta}-v_{\alpha}}。
如同上面推导的延伸。

使用理想气体状态方程近似
对于有气相参加的相变过程，气相比容v_{\mathrm{g}}要远远大于固体或液体的体积v_{\mathrm{c}}，所以固体和液体的体积可以忽略\Delta v =v_{\mathrm{g}}\left(1-\tfrac{v_{\mathrm{c}}}{v_{\mathrm{g}}}\right)\approx v_{\mathrm{g}}在较低的压力和气体分子间作用力的前提下，气体可以近似视为理想气体，v_{\mathrm{g}} = R T / P,此处R是個別氣體常數。于是
:\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} T} = \frac {P L}{T^2 R}。
这就被称为克劳修斯-克拉佩龙方程。一般来说，相变焓L是温度的函数，但如果相变焓随温度变化不大，那么可以积分得
:\frac {\mathrm{d} P}{P} = \frac {L}{R} \frac {\mathrm{d}T}{T^2},
:\int_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P} = \frac {L}{R} \int \frac {\mathrm{d} T}{T^2}
:\left. \ln P\right|_{P=P_1}^{P_2} = -\frac{L}{R} \cdot \left.\frac{1}{T}\right|_{T=T_1}^{T_2}
:或者形式为
:\ln \frac {P_2}{P_1} = \frac {L}{R} \left ( \frac {1}{T_1} - \frac {1}{T_2} \right )
这里(P_1,T_1)和(P_2,T_2)是P-T图上的两个点，这是很有用的一个关系，因为他联系了饱和蒸汽压、温度和相变焓。不需要比容的数据，就可以估算饱和蒸汽压随温度变化的关系。

参考文献
参见
*范特霍夫方程
*安托万方程