上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或电流）阶跃函数下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間，值可以用相對參考輸入的比率或是百分比來表示。在模拟电路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或及）。不過，也常會使用其他的值若是在控制理論中，依照，上昇時間定義為「響應從終值的上昇到所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間。依照，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間，常用 \scriptstyle t_f\,表示。，
簡介
上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素
針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，。

其他定義
有關上昇時間，也有其他和不同的定義，偶爾會出現：。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義。另一種定義是由引入，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 ，重新定義傳播延遲 為一次导数的矩，也就是

:t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間

:t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad
\Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}

典型系統的上昇時間
符號及標示
所有分析用到的符號及假設條列如下：

*根據，定義為低準位的百分比，為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
*是待分析系統的輸出到達穩態值的時間，而是輸出到達穩態值的時間，兩者單位都是秒。
*是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義
:t_r = t_2 - t_1.

*為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
*為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
*是待分析系統在時域下的冲激响应。
*是待分析系統在頻域下的频率响应。
*带宽定義為

:BW = f_{H} - f_{L}\,

:因為較低的截止頻率往往遠小於較高截止頻率，因此

:BW\cong f_H\,

*所有分析的系統，其頻率響應都延伸到（低通系統），因此
:f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW。

*為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是伏特的阶跃函数，因此

:\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}

*是特定二階微分方程的阻尼比，則是自然頻率。

計算上昇時間的簡單範例
此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統
系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

:|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}

其中為常數，和高截止頻率有以下的關係：

:f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

:\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}

直接代入階躍響應的定義

:V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

:\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right]
\qquad \frac{V(t_1)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],

利用误差函数的定義，可以找到的數值，因為,

:t_r=\frac{4}{\sigma}{\mathrm{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},

因此

:t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.

一階低通RC電路
針對一階低通RC電路，10%至90%的上昇時間和網路時間常數成正比：

:t_r\cong 2.197\tau\,

比例常數可以用輸入信號為的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

:V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)

求解時間

:\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},

最後可得

:\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)

而及滿足以下條件

:\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,

求解方程可得和的解析式

: t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})

:t_2=\tau\ln{10}\,

上昇時間和時間常數成正比：

:t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197

另外，根據

:\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},

則

:t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},

因為上截止頻率等於頻寬

:t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.：

: t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right )\right ]

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：
: t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12\,

中是阻尼比，是電路的自然頻率。
級聯模組的上昇時間
考慮個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為, ，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為.。其輸出的上昇時間為

:t_{r_O}=\sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}

依照，此結果可以用中心极限定理來說明，已由證明。此問題的詳細分析可以參考,，他指出是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人。
相關條目
*下降時間
*频率响应
*冲激响应
*階躍響應
*安定時間

腳註
參考資料
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