在概率论与方向统计学中，圆均匀分布（）是单位圆上均匀的概率分布。
描述
圆均匀分布的概率密度函数是：
f_{CU}(\theta)=\frac 1{2\pi}
用圆变量z=e^{i\theta}来表示，圆均匀分布的n（n>0）阶圆矩\langle z^n\rangle都为0。
平均值的分布
从一个圆均匀分布取得的N个测量值z_n=e^{i\theta_n}的样本平均为：
:
\overline{z} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N z_n = \overline{C}+i\overline{S} = \overline{R}e^{i\overline{\theta}}
其中
:
\overline{C}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \cos(\theta_n)\qquad\qquad\overline{S}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sin(\theta_n)
平均长度
:
\overline{R}^2=|\overline{z}|^2=\overline{C}^2+\overline{S}^2
平均角度
:
\overline{\theta}=\mathrm{Arg}(\overline{z}). \,
圆均匀分布的样本平均的取值集中在0的附近，随着N增大而更加集中。均匀分布的样本平均的分布为：
:
\frac{1}{(2\pi)^N}\int_\Gamma \prod_{n=1}^N d\theta_n = P(\overline{R})P(\overline{\theta})\,d\overline{R}\,d\overline{\theta}
其中\Gamma是[0,2\pi)^N的使得\overline{R}与\bar\theta为常数的子空间。角度分布P(\bar\theta)是均匀的
:
P(\overline{\theta})=\frac{1}{2\pi}
\bar R的分布为：
:
P_N(\overline{R})=N^2\overline{R}\int_0^\infty J_0(N\overline{R}\,t)J_0(t)^Nt\,dt
，1万点。]]
其中J_0是0阶贝塞尔函数。上面的积分没有已知的解析解，也很难作近似估计，因为被积函数有大量震荡。
对于某些特殊情况，上面的积分式可以求出来，例如N=2：
P_2(\bar R)=\frac 2{\pi\sqrt{1-\bar R^2}}当N很大时，平均值的分布可以由方向统计学的中心极限定理确定。由于角度是均匀分布的，每个角的正弦和余弦服从分布：
P(u)du=\frac1\pi\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}其中u=\cos\theta_n\,或\sin\theta_n\,。由此可得平均值为0，均值为1/2。根据中心极限定理，在大N极限下，\bar C与\bar S作为大量独立同分布的随机变量的和，近似于均值为0方差为1/2N的正态分布。
熵
均匀分布的微分熵就是
: H_U=-\int_\Gamma \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1}{2\pi}\right)\,d\theta = \ln(2\pi)
其中\Gamma是长度为2\pi的区间。这是圆分布的熵的最大值。
参考文献
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