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等諧數列

Wikipedia · 2025-10-29 维基百科 👁 2 阅读

等諧数列，又名調和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为公諧差（common harmonic difference）。

例如数列：

:

就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 。

性質
如果一个等諧数列的首项記作 ，公諧差記作 ，那么该等諧数列第 项 的一般項为：

:a_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}

換句話說，任意一個等諧数列 {{math|{an} }}都可以寫成

:\{a\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}\,,\,\cdots\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\}

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 和 ，可知公諧差

:h=\frac{1}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}

給定任意兩項 和 ，則有公諧差

:h=\frac{m-n}{\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}}

此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3} = \frac{2}{a_2}。

更一般地說，有：

:\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n}

證明如下：

:\begin{align}\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} & = \left(\frac{1}{a}+\frac{n-2}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n}{h}\right) \\
& = \frac{2}{a}+\frac{2n-2}{h} \\
& = 2\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\
& = \frac{2}{a_n} \\
\end{align}

證畢。

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

:a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}}

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 ，使得 m+n=p+q，那么则有：

:\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}

證明如下：

:\begin{align}
\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n} &=\left(\frac{1}{a}+\frac{m-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\
&=\frac{2}{a}+\frac{m+n-2}{h} \\
&=\frac{2}{a}+\frac{p+q-2}{h} \\
&=\left(\frac{1}{a}+\frac{p-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{q-1}{h}\right) \\
&=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q} \\
\end{align}

由此可將上面的性質一般化成：

:\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}} = \frac{2}{a_n}

:a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}}

其中 是一個小於 的正整數。

給定一個等諧數列 \{a_n\}，則有：

  • \{b\cdot a_n\} 是一個等諧數列。
  • \{\frac{b}{a_n}\} 是一個等差數列。

等諧数列和
一個等諧數列的首 項之和，稱為等諧数列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 。

舉例來說，等諧數列 {{math|{1/3, 1/5, 1/7, 1/9} }}的和是 = 。

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

:S_n = a\int_0^1{\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)}\mathrm{d}x

公式證明如下：

:\begin{align}

S_n & = a+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\
& = a+\frac{a}{1+\frac{a}{h}} + \frac{a}{1+\frac{2a}{h}} + \cdots + \frac{a}{1+\frac{(n-1)a}{h}} \\
& = a\left(1+ \frac{1}{\frac{a}{h}+1} + \frac{1}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{1}{\frac{(n-1)a}{h} + 1} \right) \\
& = a\left[x+\frac{x^{\frac{a}{h}+1}}{\frac{a}{h}+1} + \frac{x^{\frac{2a}{h}+1}}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{x^{\frac{(n-1)a}{h}+1}}{\frac{(n-1)a}{h} + 1}\right]_{x=0}^{x=1} \\
& = a\int_0^1 \left(1+ x^{\frac{a}{h}} + x^{\frac{2a}{h}} + \cdots + x^{\frac{(n-1)a}{h}} \right) \mathrm{d}x \\
& = a \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}} \right)\mathrm{d}x \\
\end{align}

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

使用上面的例子，對於數列 {{math|{1/3, 1/5, 1/7, 1/9} }}：

:\begin{align}
S_4 & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{2}{3}\cdot 4}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\
& = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{8}{3}}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\
& \approx 0.7873
\end{align}

結果相等。

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

等諧数列积
一個等諧數列的首 項之積，稱為等諧数列積（product of harmonic sequence），記作 。

舉例來說，等諧數列 {{math|{1/3, 1/5, 1/7, 1/9} }}的積是 = 。

等諧数列積的公式可以Γ函數表示：

:P_n =h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}

證明如下：

:\begin{align}
P_n&=a\cdot\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\
&=\frac{1}{\frac{1}{h^n} \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}{\Gamma(\frac{h}{a})}} \\
&=h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)} \\
\end{align}

這裡使用了等差數列的求積公式。

使用上面的例子，對於數列 {{math|{1/3, 1/5, 1/7, 1/9} }}：

:\begin{align}
P_4&=\frac{1}{2^4} \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2}+4)} \\
&=\frac{1}{16}\cdot\frac{0.88622\dots}{52.342\dots} \\
&=\frac{1}{945} \\
\end{align}

結果相等。

参见

  • 序列
  • 數列
  • 級數
  • 調和級數
  • 調和平均
  • 等差數列
  • 等比數列

参考文献

#序列

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