圓柱坐標系

圓柱坐標系（）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 z 專門用來表示P點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 (\rho,\ \phi,\ z) 。

定義
。紅色圓柱面的 \rho=2 。藍色平面的 z=1 。黃色半平面的 \phi= - 60^{\circ} 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P（以黑球表示）。點P的直角坐標大約為 (1.0,\ - 1.732,\ 1.0) 。]]
如圖右，P點的圓柱坐標是 (\rho,\ \phi,\ z) 。
*\rho 是P點與 z-軸的垂直距離。
*\phi 是線OP在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
*z 與直角坐標的 z 等值。

符號約定
圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦(\rho,\varphi,z)，這裡的\rho是徑向距離，\varphi是方位角，而z是高度。但是，徑向距離也常表示為r或s，方位角也常表示為\theta或t，高度坐標也常表示為h或x（如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換
三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系
使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：
:{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 } 、
:{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) 、
:z=z 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 (x,\ y) 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：
:x=\rho \cos\phi 、
:y=\rho \sin\phi 、
:z=z 。

球坐標系
使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：
:\rho=r\sin\theta、
:\phi=\phi 、
:z=r\cos\theta 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：
:r=\sqrt{\rho^2+z^2} 、
:\theta=\arctan\frac{\rho}{z} 、
:\phi=\phi 。

圆柱坐标系下的微积分公式
圓柱坐標系的坐標因子分別為
:h_{\rho} =1 、
:h_{\phi} =\rho 、
:h_{z} =1 。

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是
:\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z} 。

面積元素是
:\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz 。

體積元素是
:\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz 。

劈形算符表示為
:\nabla = \boldsymbol{\hat \rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \boldsymbol{\hat \varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} + \mathbf{\hat z}\frac{\partial}{\partial z} 。
拉普拉斯算子是
:\nabla^2 \Phi={1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho{\partial \Phi \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2}

• {\partial^2 \Phi \over \partial z^2} 。

其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F} ， \nabla \times \mathbf{F} ，都可以用 (\rho,\ \phi,\ z) 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用
圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 x^2+y^2=c^2；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 \rho=c。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见
*在圆柱和球坐标系中的del

參考資料
參閱
Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten
Koordinaatisto#Sylinterikoordinaatisto
Coordonate polare#Coordonate cilindrice