非均勻採樣

非均勻取樣（）是取樣定理下的產物，藉由拉格朗日插值法及均勻取樣理論的關係，來達成滿足取樣定理的概括化型態。取樣定理限制了在對連續訊號取樣時的條件，如奈奎斯特準則，以避免取樣後的重構時產生訊號缺陷。而非均勻取樣則是在不同時間有不同的取樣間隔，但平均下來，整段取樣滿足取樣定理的限制，根據取樣定理的回推，這樣的作法在有限頻寬訊號重構時不會造成缺陷。因此，雖然均勻取樣在訊號重構時較簡單，完整的重構訊號卻不見得一定要用均勻取樣來的訊號才能達到。

1967年藍道提出的對於非均勻取樣及非基頻取樣的泛用理論提到，平均後的取樣率，無論是否均勻取樣，若是知道使用的頻譜為前題下，必須要是訊號占用頻寬的兩倍大。1990年代末期，這個理論推廣到占用頻寬的數量已知，而實際上頻譜位置未知的情形。2000年代，非均勻取樣與壓縮取樣逐漸發展成一套完整的理論，並實際實作在訊號處理上。如果頻譜位置是未知的，取樣率必須至少兩倍大於奈奎斯特準則，也就是說未知頻譜位置的代價是至少多兩倍的頻寬。

取樣混疊
奈奎斯特準則用取樣率限制了最大取樣頻率，若是超出這個頻率就會產生混疊。高於取樣頻率的成分將被重構成低於取樣頻率的訊號，因而導致重構失真，這樣的失真就稱為混疊，因為這兩個訊號有同樣的取樣值，重構時並不能主動判斷是哪一個成分訊號造成的。同樣的狀況也出現在數值分析裡的頻譜法。一般有兩個方式可以避免混疊的發生，一是提高取樣頻率，使之達到最凹訊號頻率的兩倍以上，意即使之符合奈奎斯特準則。二是引入低通濾波器，通常稱為抗混疊濾波器，用以濾除高於最大頻率之訊號。

然而，若是將每個取樣的時間點前後挪移一點單位，在重構訊號時，由於只有被取樣頻率的正弦波可以經過取樣點，原本會被誤重構二個頻率均不會經過取樣點。暫且不論重構訊號的方式，此法的確可以避免混疊，是為非均勻取樣。研究亦有指出，在正確進行非均勻取樣的前提下，每一個頻率都有對應的取樣數值組合，在上述的例子中也顯示其抗混疊的效用，意即成功重構是可能的。

最常使用的非均勻採樣抗混疊訊號處理法的實作，是引入一串高精度且已知的時間長度，作為取樣的間隔。雖然非均勻取樣可以解決混疊問題，然實際使用上，包含取樣率的上限計算等，與一般均勻取樣不全然相同。平均取樣率是藉由總取樣點除以總取樣時間得到，最小取樣數則在均勻與否的取樣皆相同，均勻取樣則常常有超過數量的取樣點，目的同樣是為了防止混疊。

理論
拉格朗日插值法
當有n+1個時間點對應的值是知道的時候，可以建立一個n次多項式來重構此函數。假設這n+1個點為z_0, z_1, \ldots , z_n，且其對應的值為w_0, w_1, \ldots, w_n

以上對應存在一個為一的多項式使得：

p_n(z_i) = w_i, \text{ where }i = 0, 1, \ldots, n.

而這個多項式可以用以下插值多項式加以簡化

I_k(z) = \frac{(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots(z-z_n)}{(z_k-z_0)(z_k-z_1)\cdots(z_k-z_{k-1})(z_k-z_{k+1})\cdots(z_k-z_n)}

以上式子可表示如下

I_k(z_j) = \delta_{k,j} =
\begin{cases}
0, & \text{if }k\ne j \\
1, & \text{if }k = j
\end{cases}

便可以將前述多項式寫成

p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_kI_k(z)

p_n(z_j) = w_j, j = 0, 1, \ldots, n

為了使式子形式更簡潔明瞭，引入以下函數

G_n(z) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)

以下便為拉格朗日插值多項式：

p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_k\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}

令f(z_j)=p_n(z_j), j=0, 1, \ldots, n,則此多項是又可以寫作

f(z) = \sum_{k=0}^n f(z_k)\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}

惠特克–夏農–科特爾尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK)
惠特克將以上插值多項式的定義拓展到整函數上，他給出了以下插值形式

C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(a+nW)\frac{\sin[\pi(z-a-nW/W)]}{[\pi(z-a-nW/W)]}

當點在z_n = a + nW時，其函數值與前述f(z)相同。

延續前一節的簡化，以上整函數形式的插值函數C_f(z)亦可以簡化為

C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(z_n)\frac{G(z)}{G'(z_n)(z-z_n)},\text{ where }G(z)=\sin[\pi(z-z_n)/W]\text{ and }z_n=a+nW

當 a=0且W=1時，以上函數與現時定義之WSK理論近幾一致：若一個函數可以以下形式表達

f(t) = \int_{-\sigma}^\sigma e^{jxt}g(x)\, dx \qquad (t\in \mathbb{R}), \qquad \forall g\in L^2(-\sigma,\sigma),

則此函數可以藉由以下方式重構

f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f\left(\frac{k\pi}{\sigma}\right)\frac{\sin(\sigma t-k\pi)}{\sigma t-k\pi} \qquad (t\in \mathbb{R})

非均勻採樣
若存在一序列\{t_k\}_{k\in \mathbb{Z}}滿足以下條件

D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_k-k|

則

: f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(t_k)\frac{G(t)}{G'(t_k)(t-t_k)},\qquad \forall f\in B^2_\pi,\qquad (t\in \mathbb{R}),

: \text{ where }G(t)=(t-t_0)\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{t}{t_k}\right)\left(1-\frac{t}{t_{-k}}\right), B^2_\sigma.是Bernstein space，f(t) 均勻收斂於緊緻集。

以上稱為培力-威納-萊文森定理，為將WSK定理從均勻取樣時間拓展至非均勻取樣時間的定裡。

参考文献